Задача 2.
В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А1 В1 С1 D1. Найдите:
а) длину ребра А1 В1;
б)
косинус угла между векторами
;
в) уравнение ребра А1 В1;
г) уравнение грани А1 В1 С1;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины D1 на грань А1 В1 С1;
е)
координаты векторов
,
,
,
и докажите, что они образуют линейно
независимую систему;
ж)
координаты вектора
,
где
—
середины ребер А1
D1
и
В1
С1,
соответственно;
з)
разложение вектора
по базису
если А1(-2,2,2),
В1(1,-3,0),
С1(6,2,4),
D1(5,7,-1).
Решение.
а)
найдем координаты вектора
по
формуле:
=
XВ
-
XА
;
YВ
-
YА
;
ZВ
-
ZА
,
где (ХА
, YА
, ZА
)
– координаты точки А1,
(ХВ
, YВ
, ZВ
) – координаты
точки В1.
Итак,
=
Тогда
=
.
Итак,
длина отрезка
(или длина вектора
)
равна
.
Это и есть искомая длина ребра.
б)
координаты вектора
=
уже
известны, осталось определить координаты
вектора 
:
=
.
Угол между векторами и вычислим по формуле:
cos
=
,
где
скалярное произведение векторов
и
равно
(
,
)=
3 ´
8 + (-5)
´
0 + (-2)
´2
=24 + 0 -
4=20,
=
,
= 
Итак, cos
=
=
.
в)
координаты точки А1(-2,2,2)
обозначим соответственно Х0
=
-2,
У0
= 2, Z0=2,
а координаты точки В1
(1,-3,0)
через Х1=1,
У1
= -3,
Z1=0
и воспользуемся уравнением прямой в
пространстве, проходящей через две
точки:
.
Следовательно,
уравнение ребра А1В1
имеет вид
или
г)
обозначим координаты векторов
и
через
Х1=3,
У1=
-5,
1=
-2
и Х2=8,
У2=
0,
2=2,
соответственно. Векторное произведение
данных векторов определяется формулой
Так
как данный вектор перпендикулярен грани
А1
В1
С1,
то можно воспользоваться уравнением
плоскости, проходящей через точку (Х0,
У0,
0)
перпендикулярно вектору
,
которое имеет вид:
А
.
Подставим координаты точки А1 (Х0=-2, У0=2, 0=2) и координаты перпендикулярного вектора А=-10, В=-22, С=40 в это уравнение:
– 10 ( Х + 2 ) - 22 (У - 2) + 40 ( - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани А1 В1 С1 имеет вид: -10х - 22у + 40 z-56=0 или -5х - 11у + 20 z - 28=0.
д)
вектор
является направляющим вектором высоты,
опущенной из вершины D1
на
грань А1В1С1.
Воспользуемся уравнением прямой в
пространстве, проходящей через точку
с заданным направляющим вектором:
,
где
– координаты точки D1.
Отсюда искомое уравнение:
или
е)
координаты вектора
=
=
.
Обозначим
=
,
=
,
.
Чтобы
доказать, что векторы
образуют линейно независимую систему
векторов необходимо убедиться, что
определитель третьего порядка,
составленный из координат этих векторов,
отличен
от 0. Определитель третьего порядка
равен
=
-
+
=
=
Вычислим определитель
=3
– (–5)
+(–2)
= 3
(0
(–3) – 5
2)+5
(8
(–3) – 7
2) –
- 2 (8 5 – 7 0) =3 (–10)+5 (–24 – 14) – 2 40=–30 – 190 – 80 = –300.
Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.
ж) сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки
М =
= 
= 
N =
=
=
.
Получаем
вектор
=
.
з)
обозначим через
координаты
вектора
в
базе
.
Тогда
=
= 
.
Так как:
=
+
+
;
=
+
+
=
,
то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(1) 
Решим
данную систему уравнений с помощью
формул Крамера (см.
глава 10,
стр. 268). Рассмотрим произвольную систему
трех линейных уравнений с тремя
неизвестными:
Тогда
=
z
,
где:
Для системы (1) определитель:
=3
–8
+7
=
= 3 ( –10) – 8 ( 15 + 10 ) + 7 ( –10) = –30 – 200 – 70 = –300;
= 2
–8 
+7
=
=3
–2
+7
=
=3
=3
–8
+2
=
=
По
формулам Крамера
Итак,
разложение вектора
по базису (
)
имеет вид
=
Задача
3. Для
решения задачи 3 необходимо изучить
.
Задача 4. Найти производную функции z = x2 – xy + y2 в точке М0(1; 1):
а)
в направлении вектора
;
б) определить градиент z в точке М0(1; 1), его величину и направление.
Решение:
а)
Функцией z = x2 – xy + y2
определено плоское скалярное поле в
точке (х; у). Производная функции z = f(x;
y)
по данному направлению
определяется формулой:
,
где cos a,
cos b
– направляющие косинусы вектора
.
В задаче направление определено вектором , его направляющие косинусы
.
Определим частные производные функции в точке М0(1; 1):
.
Тогда
производная по направлению равна
= 1×0,6+1×0,8
= 1,4 > 0. Производная по направлению
определяет скорость изменения функции
z(x,
y)
в этом направлении. Так как
> 0, то в этом направлении функция z
возрастает.
б) grad z есть вектор, указывающий направление набольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. Этот вектор определяется по формуле:
grad z
=
Следовательно,
grad z
=
.