Задача 5. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах

Геометрический смысл определенного интеграла от функции заключается в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и графиком функции , т.е.

.

Если плоская фигура ограничена прямыми и графиками функций , причем для всех точек на отрезке , то её площадь вычисляется по следующей формуле:

.

Для вычисления площади необходимо:

а) построить на плоскости графики всех указанных функций;

б) выделить фигуру, ограниченную данными кривыми;

в) спроектировать фигуру на одну из осей или (в зависимости от вида фигуры). Границы получившегося отрезка ( ) дадут нижний и верхний пределы интегрирования;

г) определить функцию ( ), ограничивающую фигуру сверху и ( ) – ограничивающую фигуру снизу;

д) вычислить или .

П ример . Вычислить площадь фи­гуры, ограниченной линиями , , .

Построим графики указанных функций. Область, ограниченная тремя кривыми, указана на рис. 1. В данной задаче её целесообразно спроектировать на ось . Поступив таким образом, получим нижний предел интегрирования , верхний . Искомая площадь определяется интегралом:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Построим графики данных функций (рис. 2). Для того, чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения кривых

Т аким образом, точки пересечения кривых и .

Спроектировать полученную фигуру можно как на ось , так и на ось . При проектировании на ось нижний предел интегрирования равен , а верхний . В этом случае сверху фигуру ограничивает график функции , а снизу – . Тогда

Место для формулы.

_{Задача 6.}

Для решения задачи необходимо изучить

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

, . Найдем общее решение уравнения. Разделив обе части уравнения на х, приходим к линейному неоднородному уравнению . Пусть

, положим

или , откуда . Проинтегрировав, найдем какое либо решение этого уравнения, например при С=0, и Подставив найденное в уравнение (*) , получим . Решая это уравнение с разделяющимися переменными , получим . Тогда окончательно имеем . Это общее решение исходного дифференциального уравнения. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Подставив в общее решение у=0, х=1, , отсюда С=-1. Тогда частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям будет .

Список литературы

1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов / под. ред. проф. Н.Ш.Кремера.2007г. 479с.

2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.1 курс /К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.- 8-е изд..-М. :Айрис пресс, 2010.-576с.

3. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.2 курс /К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.- 8-е изд..-М.:Айрис пресс, 2011.-592с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : (в 2 ч.) ч.1.10изд.-М.: Айрис-пресс, 2010.-288с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : (в 2 ч.) ч.2.10изд.-М.: Айрис-пресс, 2011.-256с.

6. Справочник по математике для экономистов: Учебное пособие / под ред.проф. В.И.Ермакова, М.: Инфра -М, 2009.- 464с.

7. Щипачев В.С. Высшая математика .Учебник для вузов.-5-е изд. ,-М.: Высшая школа.2001.-479с.

8. Математика для экономистов: электронный учебник/ С.И.Макаров.- Москва.: Кнорус, 2009.