2.5.10. Інтервальна оцінка параметра розподілу Пуассона

Статистична модель. Генеральна сукупність має розподіл Пуассона з параметром

Незміщеною й ефективною оцінкою невідомого параметра є вибіркове середнє . Дисперсія цієї оцінки дорівнює . Випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром , а випадкова величина асимптотично нормальна з параметрами (0, 1).

Надійний інтервал для параметра будується або на основі розподілу Пуассона, який має випадкова величина , або на основі асимтотичної нормальності розподілу випадкової величини .

Алгоритм побудови надійного інтервалу для параметра з використанням розподілу Пуассона

1. Обчислюється точкова оцінка .

2. Задається надійний рівень .

3. Визначаються квантилі -розподілу, де – функція, обернена до функції –розподілу з ступенем свободи. Квантилі -розподілу визначаються за функцією Mathcad qchisq( ).

Тут використані відомі співвідношення між розподілом Пуассона і розподілом .

4. Визначаються границі надійного інтервалу

.

Приклад 2.14. За даними вибірки об’єму їз генеральної сукупності, розподіленої за законом Пуассона, визначимо надійний інтервал для параметра із рівнем значущості

Розв’язання. Змоделюємо вибірку об’єму із генеральної сукупності з розподілом Пуассона з параметром (вибірку моделюємо за допомогою функції ). Знаходячи точкову оцінку середнього арифметичного і відповідні квантилі -розподілу, знаходимо надійні інтервали для параметра .

_{Алгоритм у Mathcad}

_{Початкові дані}

_{Моделювання вибірки}

_{Фрагмент вибірки}

Вибіркове середнє і дисперсія

_{Кількість ступенів свободи}

Квантилі розподілу

Надійний інтервал для параметра

_◄

Алгоритм побудови асимптотичної оцінки для параметра λ

При досить великому наближений надійний інтервал для значення будується таким чином:

1. Обчислюється точкова оцінка

2. Задається довірча імовірність (рівень значущості ).

3. Визначається квантиль стандартного нормального розподілу , де функція, обернена до функції стандартного нормального розподілу. Квантиль визначається за функцією Mathcad qnorm( ).

4. Визначаються границі надійного інтервалу для параметра

.

При побудові цього надійного інтервалу використовується апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом. Невідоме значення дисперсії замінюється величиною

Можна будувати надійний інтервал вигляду

,

де використовується тільки апроксимація розподілу Пуассона нормальним розподілом.

Приклад 2.15. За даними попереднього прикладу визначимо надійний інтервал для параметра із рівнем значущості використовуючи асимптотичну оцінку цього параметра.

Алгоритм у Mathcad

_{Початкові дані}

Середнє арифметичне

_{Квантиль нормованого нормального розподілу}

Надійний інтервал для параметра

Надійний інтервал для параметра з використанням апроксимації розподілу Пуассона нормальним розподілом

_◄