Оценка тесноты принятой формы связи.

Ввиду ортогональности ошибок к каждому члену модели [e] = 0; [ex₁] = 0; [ex₂] = 0 ошибки будут также ортогональны к расчетным значениям [eу_р] = 0, где у_р = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ .

Выражение у = у_р + е представляет собой разложение "полного сигнала" (у) на две компоненты – детерминированную часть (у_р), которая определяется моделью (уравнением регрессии; в конечном итоге, – объясняющими переменными х₁ , х₂) и ошибку (е), которая моделью не определяется. Оказывается, что точно такое же разложение имеет сумма квадратов отклонений SSy = SSp + SSe.

Покажем это. Ввиду ортогональности ошибок к свободному члену модели [e] = 0 получается, что . Преобразуем полную (общую) сумму квадратов отклонений:

.

Удвоенная сумма равна нулю ввиду ортогональности ошибок к расчетным значениям [eу_р] = 0 и свободному члену модели [e] = 0 .

Мы получили разложение общей суммы квадратов отклонений (SSy ) на две компоненты, одна из которых определяется моделью (SSр ), а другая (SSе) моделью не определяется SSy = SSр + SSе, или в относительных единицах: . Относительный вклад детерминированной части называется "коэффициентом детерминации":

.

Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1 (0  R²  1).

Действительно, коэффициент детерминации есть отношение сумм квадратов, которые не могут быть отрицательными; с другой стороны коэффициент детерминации не может быть больше единицы, т.к. .

Если коэффициент детерминации равен нулю, то равна нулю сумма квадратов , следовательно, равны нулю все ее члены, откуда для любых значений аргументов х₁ , х₂ расчетные значения будут одинаковыми , следовательно, отсутствует корреляционная зависимость выбранной формы связи.

Если коэффициент детерминации равен единице, то равна нулю сумма квадратов SSe = [e²], следовательно, равны нулю все ее члены, иными словами, никаких ошибок нет, каждому значению аргументов х₁ , х₂ соответствует единственное расчетное значение у_р . Однозначное соответствие между множеством значений объясняющих переменных и множеством значений результативной переменной является функциональной зависимостью.

Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем ближе найденная корреляционная зависимость к функциональной.

Коэффициент детерминации R²  показывает, какая часть полной изменчивости определяется выбранной регрессионной моделью. Принято извлекать корень квадратный из коэффициента детерминации . Характеристика R называется "коэффициентом корреляции": "коэффициен­том парной корреляции", если модель линейная однофакторная, или "коэффициентом множественной корреляции" – во всех остальных случаях..

Для рассмотренного выше примера аппроксимации данных квадратичной моделью была вычислена сумма квадратов ошибок SSe = 0,914; из таблицы расчета сумм выписываем также n = 5, [y] = 92, [y²] = 1752, откуда получаем значение общей суммs квадратов .

Вычисляем коеффициент детерминации

,

т .е. в данном примере 98,5% изменчивости у объсняется квадратичной зависимостью от х. Коэффициент (множественной) корреляции здесь равен .

В отличие от "индекса детерминации" (другой меры тесноты корреляционной связи, введенной в предыдущей лекции о дисперсион­ном анализе), при равенстве нулю коэффициента детерминации еще нельзя утверждать, что корреляционной связи нет вообще. На рис. 14.4 изображена функциональная (т.е. наиболее тесная) квадратичная зависимость, которую ошибочно попытались аппроксимировать линейной моделью. Ввиду симметрии расположения заданных точек, наилучшая линейная модель получилась в виде , для которой R² = 0.