Вопросы для самопроверки

1. Что такое "критерии согласия"?

2. Перечислите требования к применению критерия Пирсона.

3. Что такое "распределение Пирсона"?

4. Сформулируйте критерий согласия Колмогорова – Смирнова.

5. Что такое "точечные" и "интервальные" оценки?

6. Приведите интервальную оценку дисперсии.

Лекция 12. Проверка статистических гипотез Распределение Стьюдента

Пусть z и V – независимые случайные величины, где z распределено по стандартному нормальному закону z ~ N(0; 1), а V – по закону ² с числом степенй свободы df. Английский статистик Госсет (псевдоним – Стьюдент) изучил распределение комплекса . В частности, распределению Стьюдента подчиняется статистика , где величина b распределена нормально с математическим ожиданием  : b ~ N(; _b). Поскольку выборочное среднее распределено нормально (на основании центральной предельной теоремы) , то по Стьюденту также распределена статистика . Заметим, что ранее (при изучении распределений Лапласа и Гаусса) мы через t_x обозначали стандартизованную величину , где в знаменателе стоит генеральное стандартное отклонение _x. Теперь предлагается переобозначить эту величину на z, а обозначение t_x закрепить за комплексом , где в знаменателе стоит несмещенная оценка стандартного отклонения.

Р аспределение Стьюдента зависит только от числа степеней свободы  = df. Ее функция плотности вероятности (дифференциальная функция распределения) имеет вид: . При увеличении ЧСС ( = df) распределение быстро приближается к нормальному (см. рис. 12.1).

Напоминаем характерные особенности нормального распределения – оно симметричное, одномодальное, для него выполняется правило "2-х сигм", а именно: С уровнем доверия Р = 0,95 случайные отклонения от центра не превосходят 2_х (вернее, 1,96_х). Распределение Стьюдента – симметричное и одномодальное, но правило 2-х сигм выполняется только для df > 30; для меньших значений ЧСС с уровнем доверия Р = 0,95 случайные отклонения от центра не превосходят t_0,05_х, где квантиль t_0,05 надо определять по таблицам Стьюдента в зависимости от df:

df	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	15	20	25	30	
t0,05	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3	2,2	2,1	2,1	2,1	2,0	1,96

Как видно из этой таблицы, нарушение правила 2-х сигм в распределении Стьюдента весьма существенны для малых ЧСС.

Напоминаем общепринятые обозначения критических значений для симметричных распределений: С уровнем доверия Р = 1 –  выполняется условие | t |  t_ , т.е. общепринятое здесь обозначение t_  не соответствует стандартному обозначению квантиля с уровнем значимости  (из-за модуля в неравенстве | t |  t_ . Площади под дифференциальной кривой симметричного распределения справа от t_  и слева от –t_  одинаковы и равны ^ / ₂ .