Доказательство локальной теоремы Лапласа
Для преобразования формулы Бернулли
для больших значений n > 30
будет использована асимптотическая
формула Стирлинга
,
которая дает тем более точные значения,
чем больше n. Но даже
для сравнительно небольших значений n
эта формула дает уже достаточно хорошие
приближения факториалов. Например, для
n = 3 точное
значение 3! = 6, а по формуле Стирлинга
получается 5,84 (погрешность 2,7%); для n = 6
точное значение 6! = 720, а по формуле
Стирлинга получается 710,1 (погрешность
1,4%); для n = 12
точное значение 12! = 479001600, а по
формуле Стирлинга получается 475691882
(погрешность 0,7%).
Запишем
,
тогда
.
Преобразуем формулу Бернулли для n >> 1 (np, nq > 5):
Преобразуем выражение под знаком
экспоненты, используя известное
разложение логарифма
:
Окончательно получаем:
,
где
,
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте локальную теорему Лапласа, укажите область применеия распределения Лапласа.
2. Перечислите особенности дифференциальной функции Лапласа.
3. Перечислите особенности интегральной функции Лапласа.
4. Сформулируйте интегральную теорему Лапласа.
5. Приведите вариант интегральной теоремы Лапласа для симметричных отклонений случайной величины от своего центра.
6. Сформулируйте "третью форму" интегральной теоремы Лапласа.
7. Перечислите задачи, которые решеются спомощью третьей формы интегральной теоремы Лапласа.
7. Как определить потребное число испытаний, чтобы получать точные и надежные прогнозы.
8. Как по результатам статистических испытаний делаются заключения о величине параметров распределения?
9. Приведите уточненную формулировку интегральной теоремы Лапласа.