Г. Властивості нескінченно великих

1. Якщо , то .

■Нехай, наприклад,

.

Тоді за означенням нв, які прямують до ,

.■

В символічному запису властивість має вигляд

.

2. Якщо , то .

В символічному запису

.

Зауваження. Ситуації, виражені символами,

або ,

належать до невизначеностей і потребують спеціального розгляду.

2. нв·вн =нв, тобто добуток двох нв є нв. Символічно

.

Зауваження. Частка двох нв дає нам невизначеність типу

.

4. Нехай f (x), g (x) – дві функції, перша з яких є нв при , а друга має ненульове значення або ненульову границю в точці ( або ж ). Тоді добуток f (x)·g (x) цих функцій є нв при .

Аналогічна властивість є справедливою і для іншіх типів граничного пе-реходу. Її символічний запис

, якщо .

Зауваження. Якщо ж , отримуємо невизначеність типу

.

Зауваження. Зберемо до купи всі вищезгадані типи невизначеностей:

, , , , .

Нижче до них приєднаються ще декілька типів.

Приклад. Знайти границю

Спочатку проаналізуємо умову.

Функції є нм при , а тому дроби

.

є нв. Помножаючи їх, відповідно, на тричлен , який має в точці значення , і на , отримаємо функції, які фігурують в прикладі в дуж-ках і які на підставі властивості 4 є нв при . Помічаючи далі, що обидві функції мають в точці одні й ті ж ліву і праву границі ( і відповід-но), доходимо висновку, що ми маємо справу з невизначеністю типу

.

Для її розкриття розпочнімо з зведення дробів до спільного знаменника, а далі діятимемо за ситуацією.

.

Приклад. Многочлен n-го степеня

,

при є нв, причому еквівалентною своєму старшому члену .

■ Виносячи за дужки, отримуємо добуток

нескінченно великої і функції, яка при має скінченну ненульову гра-ницю . Тому цей добуток є нв при . Далі маємо

 . ■

Приклад. Обчислити границю

.

Оскільки тут

, ,

маємо

1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя

Першою стандартною називається така границя

( 1 )

■Використовуючи тригонометричний круг, ми зу-пинимось на випадку (рис. 14). Знаходячи пло-щі трикутників AOC, AOB та кругового Рис. 14 сектора OAmC, ми бачимо, що

.

Звідси

,

або

.

Ця подвійна нерівність залишається вірною і при .

Оскільки , ми от-римуємо результат (1) на підставі тео- Рис. 15 реми про проміжну функцію (теореми про двох міліціонерів).■

Графік функції

зображено на рис.15 Наслідки.

1. .

Доведімо третю з цих границь. Решту доведіть самостійно.

■ ■

2. При функції є нескінченно малими (нм), еквівалентними своєму арґументу x:

 x,  x,  x,  x (якщо ) .

Приклад. За властивістю 3 “арифметичних” властивостей границь

Приклад. Знайти границю.

 .

Оскільки (на підставі формул зведення)

,

ми маємо розкрити тут невизначеність типу . За “арифметичними” влас-тивостями границь (з використанням формули про різницю кубів двох чисел, яка дорівнює добутку їх різниці і неповного квадрата їх суми)

,

оскільки

.

Тепер введімо заміну змінної звідки

.

Таким чином,

Тут для фіксації еквівалентності ми використали позначення , бо в ре-дакторі формул на ПК символ "" відсутній.