- •Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- •Донецьк 2009
- •Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- •Підручники
- •Збірники задач
- •1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- •Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- •В. Границя числової послідовності
- •Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- •Д. Нескінченно малі (нм)
- •Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- •Є. Нескінченно великі (нв)
- •Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- •1.1.3. Властивості границь
- •А. Загальні властивості границь
- •Б. Властивості нескінченно малих
- •В. “Арифметичні” властивості границь
- •Г. Властивості нескінченно великих
- •1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- •Б. Друга стандартна границя
- •1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- •2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- •1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- •1.2. Неперервність функцій
- •1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- •Б. Властивості неперервних функцій
- •В. Точки розриву
- •1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- •1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- •2. Диференціальне числення
- •2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- •Б. Продуктивність праці
- •В. Дотична до кривої
- •2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- •Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- •2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •2.1.4. Диференційовність і неперервність
- •2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- •1. (Похідна суми і різниці).
- •2. (Похідна добутку).
- •3. (Похідна частки).
- •2.2. Техніка диференціювання
- •2.2.1. Похідна складеної функції
- •2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- •Б. Випадок оберненої функції
- •В. Випадок функції, заданої параметрично
- •2.2.3. Похідні вищих порядків
- •2.2.4. Диференціал
- •2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- •2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- •Б. Граничні величини
- •В. Еластичність функції
- •Властивості еластичності
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- •2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- •2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- •2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- •А. Невизначеності типів
- •Б. Деякі інші типи невизначеностей
- •2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- •Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- •В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- •Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу 5
- •1.1. Границя функції 5
- •1.2. Неперервність функцій 43
- •2. Диференціальне числення 60
- •2.2. Техніка диференціювання 71
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97
2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
Означення 1. Функція однієї змінної називається неявною (або неявно заданою), якщо вона визначена рівнянням вигляду
, ( 6 )
тобто рівнянням, яке не розв"язане відносно y.
Якщо з рівняння (6) можна знайти , то функція перетворює рівняння на тотожність
.
Приклад. Рівняння визначає дві неявні функції
,
підстановка яких в рівняння дає тотожність
.
Теорема 3. Нехай:
1) функція в рівнянні (6) і її частинні по-хідні визначені і неперервні в деякому околі точки (рис. 1);
2) ,
але Рис. 1 .
Тоді рівняння (6) визначає єдину неявну функцію в певному околі точки . Ця функція є неперервною і диференційовною в деякому околі точки , а її графік проходить через точку (тобто
).
Щоб знайти похідну неявної функції , трактуватимемо рівняння (6) як тотожність і продиференціюємо його по x. Використову-ючи правило диференціювання складеної функції, отримаємо
. ( 7 )
В подальшому ми можемо, залежно від ситуації, застосовувати як форму-лу (7), так і метод, за допомоги якого її отримано.
Приклад. Знайти похідну функції, неявно заданої рівнянням
.
Перший спосіб (за допомогою формули (7)). Тут функція
,
її частинні похідні по x і y дорівнюють
,
звідки за формулою (7)
Другій спосіб (безпосереднє знаходження похідної). Продиференціюємо задане рівняння по x, беручи до уваги, що змінна y є функцією від x:
.
Ми отримали лінійне рівняння відносно шуканої похідної . Розв"язуючи його, маємо
Приклад. Скласти рівняння дотичних до кола , які проходять через точку A (0; 5).
Зауважмо, що точка A (0; 5) не лежить на колі. Розв"язок задачі можна по-дати в декілька кроків.
а) Взявши до уваги, що дотичні повинні проходити через точку A (0; 5), шукатимемо їх рівняння у вигляді
, або ж ,
де k – невідомі кутові коефіцієнти дотичних.
б) Диференціюємо обидві частини рівняння кола і знаходимо кутовий ко-ефіцієнт дотичної в довільній його точці ,
.
в) В спільних точках шуканих дотичних і кола повинні виконуватися умо-ви
які породжують систему рівнянь відносно k і координат точок дотику.
г) Немає потреби повністю розв"язувати систему, достатньо знайти з неї шукані значення k. Діємо наступним чином:
Отримали два значення k, і шуканими рівняннями дотичних будуть
Приклад. Знайти кути, під якими перетинаються лінії
Розв"язання.
а) Спочатку знаходимо точки перетину ліній (кола і параболи), розв"я-зуючи систему їх рівнянь,
b) Далі ми знаходимо кутові коефіцієнти дотичних до обох кривих в довільних їх точках. Знаходячи похідні функцій, заданих неявно, маємо
.
c) В точці кутові коефіцієнти дотичних до кривих дорівнюють
,
і тому криві перетинаються тут під кутом, тангенс якого дорівнює
d) В точці криві перетинаються під кутом, для якого (перевір-те!)
.
Досі йшлося про існування і диференційовність неявної функції однієї змінної x, визначеної рівнянням вигляду (6). Аналогічно можна вести розмову про існування і диференційовність неявної функції будь-якої кількості змінних, визначеної одним рівнянням, і навіть декількох неявних функцій, визначених системою рівнянь.
Обмежмось декількома словами щодо функції двох змінних
,
неявно визначеної рівнянням вигляду
. ( 8 )
Її частинні похідні по x і y знаходяться за формулами
( 9 )
Спробуйте довести ці формули самостійно!
Вказівка.
,
і таким же чином для .
Приклад. Знайти частинні похідні функції , неявно визначеної рівнянням
.
Відповідно формулам (9) послідовно маємо