Б. Властивості нескінченно малих
1. Сума двох або будь-якої скінченної кількості нм є нм.
■Нехай
- дві нм при
.
За означенням нм можемо
записати
,
так що
,
тобто
є нм.■
2. Добуток нм і обмеженої функції є нм.
■ Нехай функція обмежена в деякому околі точки a, тобто
,
а
- нм при
,
а саме
.
В спільній частині
околів
маємо
.
Таким чином,
а це означає, що добуток
є нм при
.■
3 (наслідок). Добуток двох нм є нм.
Зауваження. Нічого
певного не можна сказати про відношення
двох нм.
У випадках, коли треба знайти границю
відношення двох нм,
кажуть, що треба розкрити невизначеність
типу
В. “Арифметичні” властивості границь
1. Границя суми, різниці, добутку, частки двох функціій дорівнює (відпо-відно) сумі, різниці, добутку, частці границь цих функцій, тобто
■ Доведення для границі добутку. Нехай
.
На підставі теореми 5 з п. 1.2.6 в деякому околі точки а
,
де
- нм при
.
Добуток цих функцій дорівнює
.
Це значить, що
.■
Зауваження (див. також зауваження наприкінці попереднього пункта). Нічого не можна сказати без спеціального дослідження про границю частки двох функцій
коли обидві вони є нм або нв при . В таких випадках кажуть про невизна-ченості типів
або
та про необхідність їх розкриття.
Наслідки. a) Для будь-якої константи C
,
тобто сталий множник можна винести за знак границі.
b) Для довільного натурального числа n границя n-го степеня функції до-рівнює n-му степеню границі цієї функції,
.
Приклад. Застосовуючи властивість 1 та наслідки з неї, маємо
.
Приклад. Обчислити границю
.
Число 1 є коренем як чисельника,
так і знаменника, так що нам треба
роз-крити невизначеність типу
.
Ми зробимо це, розклавши чисельник і
знамен-ник на множники і скоротивши
дріб на множник
.
Приклад. Обчислити границю
.
Тут також треба розкрити невизначеність типу . З цією метою ми по-множимо чисельник і знаменник на добуток спряжених їм виразів, що після де-яких перетворень дасть можливість скоротити дріб і позбавитись невизначено-сті. Саме,
.
2 (границя складеної функції). Нехай дано складену функцію
,
де
.
Якщо
і
,
то існує границя функції в точці a, яка дорівнює А,
.
■Доведення властивості зручно здійснити в тій формі означення границі, про яку йшлося в зауваженні 4 пункту 1.2.1. Оскільки
,
то
Оскільки, далі,
,
то для названого
З цих двох співвідношень випливає, що
а це означає, що
.■
Приклад. Знайти границю
.
Введемо позначення
,
так що треба
знайти в точці
границю складеної функції
.
Тут необхідно виокремити випадки прямування до 2 зліва і справа.
Таким чином,
Означення 23.
Дві функції f
(x), g
(x)
називаються еквівалентними
в де-якому граничному переході
,
якщо границя їх відношення дорівнює
одиниці.
Так, для випадку еквівалентність функцій f (x) і g (x) означає, що
3. При відшуканні границь ми можемо замінювати співмножники еквіва-лентними їм.
■ Нехай, наприклад, f (x) ~ h (x), g (x) ~ k (x) при , і
.
Помножаючи чисельник і
знаменник на добуток
,
матимемо
.
Отже, ми замінили множники f (x), g (x) еквівалентними їм множниками h (x), k (x), і це не змінило результат граничного переходу.■
Властивість 3 може полегшувати відшукання границь, якщо ми заміню-ватимемо співмножники еквівалентними їм, але простішими.