2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної

2.3.1. Теореми Ферма і Ролля

Теорема 1 (Ферма¹). Якщо функція визначена на інтервалі і набуває найбільшого або найменшого значення в деякій (внутрішній) точці цього інтервалу, то похідна функції в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, .

■ Для визначеності припустимо, що функція набуває в точці найбільшого значення, так що її приріст в цій точці є від"ємним,

.

a) Нехай , причому настільки мале, що . Тоді

,

і на підставі теорії границь (див. п. 1.1.3 А, властивість 4) маємо

.

b) Нехай тепер і є настільки малим, що . Тоді

,

Рис. 1 і за тією ж теорією границь

.

Ми отримали і в той же час , звідки випливає, що .■

Зауваження. В більш повних курсах математичного аналізу теорема доводиться, як правило, в термінах лівої і правої похідних в точці . Геометричний сенс теореми Ферма полягає в наступному: дотична до графіка функції в точці , яка є його найвищою або найнижчою точкою на інтервалі , паралельна осі (рис. 1). Теорема 2 (Ролль¹). Якщо функція :

а) неперервна на відрізку (обмеженому замкненому інтервалі) ;

б) має похідну на інтервалі (обмеженому відкритому інтервалі) ;

в) має рівні значення на кінцях відрізка ,

то існує принаймні одна точка в інтервалі , в якій похідна функції дорівнює нулю, .

■Ми можемо припустити, що на (в противному разі мали б в усіх точ-ках інтервалу ). На підставі припущення а) фун-кція ƒ(x) набуває своїх найбільшого і найменшого значень в якихось двох точках відрізка . З при-пущення в) випливає, що принаймні одна з них ле- Рис. 2 жить всередині відрізка. Якщо - одна з таких внутрішніх точок, то на підставі теореми Ферма і припущення в) похідна в цій точці дорівнює нулю, .■

Геометричний сенс теореми Ролля аналогічний сенсу теореми Ферма: якщо графіком функції є неперервна крива з рівновіддаленими від осі точками , яка посідає дотичну в усіх своїх внутрішнії точках, то на графіку функції є принаймні одна точка , в якій дотична до графіка паралельна осі (рис. 2).

Приклад. Довести, що похідна функції

має принаймні один корінь на інтервалі .

Розв"язання. Функція неперервна і диференційовна на множині всіх дійсних чисел, а точки є її нулями. За теоремою Ролля, застосованою для відрізка , існує принаймні один корінь похідної .

Перевірка. Похідна дорівнює

і має (єдиний) корінь всередині інтервалу .

Приклад. Доведіть самостійно, що похідна функції

має принаймні один корінь в інтервалі .

Зауваження. З теореми Ролля випливає, що між двох нулів функції, яка є неперервною на будь-якому відрізку і диференційовною на відповідному інтервалі , лежить принаймні один нуль її похідної.

Приклад. Функція

неперервна і диференційовна на відрізку , причому

.

За теоремою Ролля її похідна принаймні один раз анулюється всередині інтервалу .

Перевірка. Похідна функції дорівнює

,

і , якщо .

Приклад. Перевірте самостійно справедливість теореми Ролля для функції

на відрізку

Зауваження. Всі умови теореми Ролля є істотними для її справедливості, зокрема для існування дотичної до графіка фун-кції , паралельної до осі . З іншого боку вони є дос-татніми, але не необхідними для існування такої дотичної.

Рис. 3 Приклад. Не існує жодної дотичної, яка була б паралель-ною осі , для функції, графік якої подано на рис. 3. Ця функція задовольняє умови а) і в) теореми Ролля, але не задо-вольняє умову б), а саме не є диференційовною в єдиній точці інтервалу . Рис. 4 Приклад. Жодна з умов теореми Ролля не виконується для функції, графічно представленої на рис. 4: вона є розривною в точці d, не-диференційовною в точці і має різні значення на кінцях відрізка, . Тим не менш на відрізку є точка , для якої дотична .