Збірники задач

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - СПб: Профессия, 2005.- 432 с.

2. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 423 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. посо-бие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 575 с.

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

1. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

1.1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

1.1.1.Функція (додаткові зауваження)

Означення 1. Дійсне число x, пару дійсних чисел , трійку дісних чисел називатимемо відповідно одновимірною, двовимірною, тривимірною точкою. Множини , , всіх одновимірних, двовимірних, тривимірних точок називатимемо відповідно одновимірним, двовимірним, тривимірним просторами. Геометрично їм відповідають вісь Ox, площина та простір .

Означення 2. n-вимірним простором називається множина всіх так званих n-вимірних точок

Означення 3. Відстанню між двома точками

n-вимірного простору називається вираз

Теорема 1. Для будь-яких точок n-вимірного простору

(нерівність трикутника).

Означення 4. Функцією з областю визначення і мно-жиною значень називається відображення області визначення на множину значень , тобто певне правило, яке кожній точці ставить у відповідність певне (єдине) число .

Для n = 1, 2, 3, …, n ми маємо функцію однієї, двох, трьох, n змінних

, , , .

Означення 5. Символ називається значенням функції в точці x.

Приклад. Числова послідовність. Нехай областю визначення функції є множина всіх натуральних чисел , тобто йдеться про функцію натурального арґументу, і

, скорочено

Послідовно виписані значення функції утворюють числову послідовність з загальним членом

Способи визначення функції.

1. Аналітичний спосіб: за допомоги формули , в правій частині якої визначена процедура, яка дозволяє для будь-якої точки знайти відповідне значення функції.

Н априклад:

Рис. 1

Рис. 2

2. Графічний (гео-метричний) спосіб (для
n = 1, 2): за допомогою графіка.

Все зрозуміло для випадку n = 1 (див. рис. 1). Рис. 1 Рис. 2 Нехай тепер n = 2, тобто йдеться про функцію двох змінних . Для будь-якої точки ми отримуємо точку простору Множина всіх таких точок часто-густо утворює деяку поверхню S, яка називається графіком функції (рис. 2).

Функцію двох змінних можна геометрично представити так званими лініями рівня, а саме лініями, вздовж яких функція має сталі значення,

.

Очевидно, для кожного C лінія рівня є проекцією на площину лінії перерізу графіка функції з площиною .

Приклад. Лінії рівня функції

визначаються рівнянням

При C = 0 маємо , тобто точку . Якщо ж C > 0, лінії рівня є ко-ла з радіусами і спільним центром в початку координат .

Функція трьох змінних не може мати графіка в просторі, але її можна геометрично характеризувати поверхнями рівня, тобто поверхнями, на яких функція має сталі значення, тобто

.

Приклад. Поверхні рівня функції

подаються рівняннями

Для C = 0 поверхня рівня вироджується в точку , а для C > 0 поверхні рівня є сферами з радіусами і центром в початку координат .

3. Табличний спосіб (для n = 1, 2, 3): за допомогою деякої таблиці.

При n = 1 існують, наприклад, таблиці тригонометричних функцій, логарифмів тощо. Є таблиці з двома і трьома входами для n = 2, 3 відповідно.

4. Описовий спосіб (за допомогою деякого опису).

Приклад. Означення тригонометричних функцій дійсного арґументу.

5. Алгоритмічний спосіб (за допомогою програми для ЕОМ або ПК).

Означення 6. Основними елементарними називаються наступні функ-ції (однієї змінної):

1) стала функція y = f ( x ) = C, C -const;

2) степенева функція

;

3) показникова функція

, зокрема ,

де - так зване число Ейлера;

4) логарифмічна функція

, зокрема ;

5) тригонометричні функції

, ;

6) обернені тригонометричні функції

.

Означення 7 (складена функція). Нехай - дві функції однієї змінної, причому . Функція називається складеною [або функцією від функції, суперпозицією функцій f та ].

Розглядають також складені функції декількох змінних.

Приклад. Складена функція трьох змінних

,

де

Означення 8 (елементарна функція). Функція y = f ( x ) однієї змінної називається елементарною, якщо вона є основною елементарною функ-цією або може бути отримана за допомоги скінченної кількості арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозицій над основними елементарними функціями.

Приклад. Многочлен n-го степеня (однієї змінної )

.

Приклад. Раціональний дріб (від ),

,

тобто відношення двох многочленів. Дріб називається правильним, якщо m < n, і неправильним в противному разі (при ).

Означення 9. Нехай . Околом точки називається будь-який інтервал, який містить цю точку. Зокрема, інтервал , визначе-ний нерівністю , називається - околом точки .

Означення 10. Проколеним околом точки називається її окіл без цієї точки:

= .

Зокрема, проколений -окіл точки є об"єднанням двох інтервалів:

.

Аналогічні означення можна дати в n-вимірному просторі. Обмежимось випадком n = 2, тобто випадком (площини ).

Означення 11. Областю на площині називається точкова множина , яка задовольняє дві умови: 1) кожна точка належить D разом з деяким колом з центром в цій точці; Рис. 3 2) кожні дві точки множини D можна з"єднати якоюсь лінією l, яка цілком лежить в D ( ) (рис. 3).

Приклад. Відкритий круг радіуса R з центром в точці (круг без своєї границі, тобто без кола ).

За аналогією до означень 9, 10 ми можемо дати

Означення 12. Околом точки називається будь-яка область, яка містить цю точку (наприклад, відкритий круг ).

Означення 13. Проколеним околом точки називається її окіл без точки , тобто множина (наприклад, проколений круг ).

Дуже багато функцій (однієї і декількох змінних) розглядають в економіці, наприклад виробнича, пропозиційна і продуктивна функції, функції прибутку, витрат, вартості, попиту, корисності, втрат, ризику, збитків, ефектив-ності, банкрутства, втрати корисності, переваги, функція Кобба-Дугласа.