Б. Випадок оберненої функції

Теорема 4. Нехай функція y = ƒ ( x ) однієї змінної задовольняє умови, про які йшлося у властивості 3 неперервних функцій (неперервність оберненої функції, п. 1.2.1 Б), і, крім того, є диференційовною. В цьому випадку обернена функція також диференційовна, а її похідну можна знайти за такою формулою:

( 10 )

■Обидві функції є неперервними, отже якщо , то , і навпаки, якщо , то . Крім того, , якщо і навпаки. Таким чином, ми отримуємо

.■

Приклад. Похідні обернених тригонометричних функцій

■Нехай, наприклад, і . На підставі (10)

.■

Доведіть решту формул самостійно.

В. Випадок функції, заданої параметрично

Функцію однієї змінної x часто-густо можна задати парою рівнянь

( 11 )

які містять допоміжну змінну (параметр) t. Такий спосіб задання функції називається параметричним.

Приклад. Рівняння

для визначають функцію, графіком якої є верхня частина еліпса (з півосями a, b); для вони визначають функцію з графіком – нижньою частиною того ж еліпса.

Приклад. Рівняння

визначають функцію, графіком якої є циклоїда.

Параметрично задану функцію можна подати у вигляді прямої залежності між x і y, якщо в рівняннях (11) одна з функцій має обернену. Нехай, наприклад, існує функція обернена функція для . Тоді ми може-мо виразити змінну y як функцію безпосередньо від x, а саме .

Проте для знаходження похідної від параметрично заданої функції зовсім не обов"язково виражати y (чи x) через x (відповідно через y).

Теорема 5. Якщо функції параметричного представлен-ня (11) функції диференційовні, а функція має обернену, то функція має похідну, яка дається наступною формулою:

. ( 12 )

■Використовуючи правила диференціювання спочатку складеної, а потім оберненої функцій, маємо

■

Приклад. Написати рівняння дотичної і нормалі до еліпса

x = a cos t , y= = b sin t

в точці, для якої t = t₀ = .

Рівняння дотичної і нормалі ми шукаємо у вигляді

.

Але

x₀ = cos t₀ = cos = , y₀ = sin t₀ = sin = ,

,

і шуканими рівняннями будуть такі:

y - = - ·(x - ), y - = .

2.2.3. Похідні вищих порядків

Нехай є функцією однієї змінної, а - її похідна. Остан-ня є функцією від x, і ми можемо ставити питання про її диференціювання.

Означення 2. Похідна похідної функції однієї змінної називається похід-ною другого порядку (коротше – другою похідною) цієї функції і позначається

.

Аналогічно ми означаємо похідні третього, четвертого, n-го порядків (третю, четверту,…, n-ну похідні),

.

Приклад. Нехай дано степеневу функцію

.

Тоді

.

Приклад. Нехай

.

Тоді

і загалом

.

Аналогічно отримуємо для функції

.

Приклад. Знайти перші дві похідні функції, неявно заданої рівнянням

.

Розв"язання. Для знаходження похідної першого порядку скористаємося методом прямого диференціювання.

Приклад. Похідна другого порядку функції, заданої параметрично.

Нехай

.

Подвійним застосуванням формули (12) ми отримуємо

.

Таким чином,

. ( 13 )

Приклад. Знайти першу і другу похідні параметрично заданої функції

.

Для функцій декількох змінних розглядають частинні похідні другого, третього, … порядків.

Нехай, наприклад, задано функцію двох змінних . Для неї роз-глядають чотири частинні похідні другого порядку, а саме:

Частинні похідні називаються мішаними.

Приклад. Нехай

.

Тоді

Ми бачимо, що в цьому прикладі мішані частинні похідні другого порядку виявилися рівними. Це є загальним фактом. Саме, справедливою є така

Теорема 6. Якщо мішані частинні похідні неперервні в якійсь точці, то вони в цій точці є рівними.

.

Аналогічно означаються частинні похідні третього, четвертого, …, n-го порядків і формулюється теорема про рівність відповідних мішаних похідних.