Б. Частинні похідні функції декількох змінних

Для функцій декількох змінних ми вводимо поняття частинних похідних. Нехай, наприклад, задано функцію двох змінних x, y

. Рис. 4 Ми вводимо чотири точки і покладаємо , звідки , (див. рис. 4).

Означення 2. Різниця (при фіксованому )

називається частинним приростом по x функції в точці . Різниця (для фіксованого )

називається частинним приростом по y функції в цій точці.

Означення 3. Частинними похідними функції по x, y в точці називаються (і позначаються) відповідно наступні границі:

( 13 )

2.1.3. Похідні основних елементарних функцій

Похідні багатьох основних елементарних функцій можна знайти, виходячи з означення похідної.

1. .

■Нехай . Тоді

.■

2. .

■ Нехай . Тоді

.■

3. . Зокрема, .

■ Нехай . Тоді

.■

4. , зокрема .

■Нехай . Тоді



.■

5. , зокрема .

■ Нехай . Тоді

■

6. .

■ Нехай, наприклад, . Тоді

.■

Приклад. Знайти кут, під яким перетинаються криві

.

Розв"язання. Точки перетину кривих визначаються рівнянням

,

,

і на підставі формули (12)

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої в точці з абсцисою .

Розв"язання. Нехай

.

Маємо

.

Використовуючи формули (10), (11), маємо рівняння дотичної

і рівняння нормалі

.

2.1.4. Диференційовність і неперервність

Означення 4. Функція однієї змінної називається дифе-ренційовною в точці , якщо в цій точці існує її похідна .

Нехай функція є диференційовною в точці . На підставі озна-чення похідної і теорії границь

,

де є нм при . Отже, приріст функції, диференційовної в точці , можна подати в такій формі:

, ( 14 )

де , а є нм при .

Означення диференційовної функції декількох змінних більш тонке і по-в"язане з узагальненням формули (14). Обмежимось для простоти функцією двох змінних.

Означення 5. Функція двох змінних називається дифе-ренційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці, тобто вираз

(див. означення 4 з п. 2.1.1 Вступу до аналізу і рис. 4), може бути представле-ний в наступому вигляді:

, ( 15 )

де - якісь числа, - нм при . Нескладно довести, що

,

і тому

( 16 )

Теорема 1 (достатня умова диференційовності). Якщо функція має частинні похідні в деякому околі точки , які в самій точ-ці неперервні, то функція є диференційовною в цій точці.

Доведення теореми ми дамо дещо пізніше.

Можна показати (в більш повних курсах аналізу є відповідні приклади), що для диференційовності функції в точці не є достатнім одного тільки існування частинних похідних функції в цій точці.

Теорема 2 (необхідна, але недостатня умова диференційовності). Якщо функція диференційовна в точці, то вона неперервна в цій точці (але не нав-паки!).

■Нехай, наприклад, - функція однієї змінної, яка диференційов-на в точці , і нехай . З формули (14) випливає, що приріст функції в точці прямує до нуля,

,

що означає неперервність функції в точці .■

З ауваження. Однієї тільки неперервності функції недос-татньо для її диференційовності. Існують неперервні функції, які не є диференційовними принаймні в одній точці.

Приклад. Функція

Рис. 5

(рис. 5) неперервна в усіх точках , але її похідна не існує в точці .

■Маємо

,

,

і тому не існує.

Зауважимо, що для графіка функції точка є кутовою. Аналогічна обставина справедлива для графіка будь-якої функції, яке не має похідної в тій чи іншій точці.