2. Диференціальне числення

2.1. ПОХІДНА

2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції

Нехай y = f ( x ) – функція однієї змінної, а - якась точка. Якщо ар- ґумент x отримує приріст , то функція набуває приросту

,

який дає зміну функції на інтервалі . Відношення

Називається середньою швидкістю зміни функції на названому інтервалі. Нехай далі , тобто . Границя

( 1 )

називається швидкістю зміни функції в точці .

Б. Продуктивність праці

Нехай - кількість продукції, виготовленої якоюсь фабрикою протягом часу t (тобто протягом часового проміжку від, наприклад, 0 до t). Тоді при-ріст функції в точці , тобто

,

є кількість продукції, виготовленої протягом часового проміжку від до . Відношення

є середньою продуктивністю праці фабрики протягом цього інтервалу. Границя середньої продуктивності при , саме

, ( 2 )

Називається продуктивністю праці фабрики в момент часу .

В. Дотична до кривої

Нехай задано криву , де , - фіксована її точка, її довільна точка. Пряма M₀M називається січною кривої. Нехай далі M→M₀ вздовж кривої. Якщо існує гранична по-зиція M₀T січної при M→M₀ (як зліва, так і справа), Рис. 1 то пряма M₀T називається дотичною до кривої в точці _. Її кутовий коефіцієнт дорівнює

( 3 )

2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної

Нехай задано функцію однієї змінної . Даючи арґументу x приріст і знаходячи відповідний приріст функції

( 4 )

в точці , ми знаходимо їх відношення

і переходимо до границі при .

Означення 1. Границя

, ( 5 )

тобто границя відношення приросту функції в точці і відповідного приросту арґументу Δx при прямуванні останнього до нуля, називається похід-ною функції в точці x₀. Ми позначаємо похідну одним з поданих нижче спосо-бів

,

так що

( 6 )

Вищенаведені приклади дозволяють з"ясувати декілька сенсів похідної.

1. З формули (1) випливає, що швидкість зміни функції в точці - це похідна функції в цій точці,

( 7 )

2. З формули (2) випливає, що продуктивність праці фабрики в момент часу - це похідна функції , тобто похідна кількості виробленої фабрикою продукції, в цей момент,

( 8 )

3. З формули (3) випливає геометричний сенс похідної:

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в його точці (рис. 1) – це похідна функції в точці ,

( 9 )

Рівняння дотичної M₀T (з кутовим коефіцієнтом ) є

. ( 10 )

Нормаль до графіка функції в точці (рис. 2) має кутовий коефіцієнт

і таке рівняння

Fig. 2 . ( 11 ) Часто доводиться розглядати таку задачу: знайти кут φ, під яким перетинаються дві криві

та (рис. 3).

Розв"язок. Нехай - точка перетину кри- вих L₁ і L₂ , а M₀T₁, M₀T₂ – дотичні до L₁, L₂ в точці M₀. Їх кутові коефіцієнти дорівнюють Рис. 3 , а отже

( 12 )