1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області

Теорема 4. Якщо функція однієї змінної неперервна на відрізку [a, b], то (див. рис. 5):

1) вона набуває найбільшого M і найменшого m значень на [a, b]: існують такі точки , що

, Рис. 5 (теорема Вейерштрасса¹);

2) вона набуває всіх значень, які знаходяться між m і M (теорема Больцано²-Коші³ про проміжне значення); Рис. 6 3) якщо вона має значення різних знаків в двох точках відрізка, то вона хоча б один раз між цими точками набуває нульового значення.

Зауваження. Заключення теореми можуть не справджуватись, якщо функ-ція має принаймні одну точку розриву. Наприклад, функція, графік якої зобра-жено на рис. 6а, має розрив в точках a і b і не має ні найменшого, ні найбільшо-го значень. Функція з графіком, зображеним на рис. 6b, має точку розриву , набуває найбільшого M і найменшого m значень, але не набуває жодного про-міжного значення між c і d.

Відзначимо, нарешті, що функція, яка має графік, показаний на рис. 6c, має дві точки розриву a і і тим не менш перші два заключення теореми для неї справджуються. Це означає, що умови теореми є достатніми для заключень 1), 2), 3), але вони не є необхідними.

Аналогічні теореми є справедливими для функцій декількох змінних.

Означення 7. Об"єднання області та її границі називається замкненою областю,

.

Означення 8. Область на площині (або в просторі будь-якого виміру) називається обмеженою, якщо вона міститься всередині якогось кола (відповід-но якоїсь сфери) з центром в початку координат.

Теорема 5. Якщо функція декількох змінних неперервна в замкненій обмеженій області , то:

1) вона набуває в своїх найбільшого M і найменшого m значень;

2) вона набуває всіх значень, заключених між m і M;

3) якщо вона має різні знаки в двох точках області, то вона в ній принай-мні один раз набуває нульове значення.

1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення

Третя частина теореми 4 часто застосовується в так званому методі інтер-валів для розв"язання нерівностей або визначення знаків функцій.

Н ехай функція однієї змінної має, наприклад, три нулі b, c, e і дві точки розриву a, d на множині всіх дійс-них чисел (рис. 7). Точки a, b, c, d, e породжують шість інтервалів Рис. 7 ,

на кожному з яких функція має один і той же сталий знак.

Дійсно, якби в двох точках якогось інтервалу функція мала різні знаки, то вона повинна була б хоча б один раз перетворитися в нуль між цими точками. Але це неможливо, бо всі нулю функції вже враховано.

Для знаходження знака функції на названих інтервалах треба знайти її знак в якійсь одній точці кожного інтервалу. На рис. 7 літерами

позначено точки, довільно вибрані на інтервалах, і показано можливий розподіл знаків функції.

Приклад. Розв"язати нерівність

для випадку .

Розглянемо функцію

.

Вона неперервна на і має два нулі , що породжують три інтервали

.

Для точок і першого і третього інтервалів маємо

,

а для точки середнього інтервалу маємо

.

Отже, нерівність виконується для

,

або, що те ж саме, якщо

.

Доведіть самостійно, що для випадку розв"язком нерівності буде

.

В загальному випадку розв"язок нерівності можна записати у вигляді

Приклад. Задано функцію

Знайти інтервали, на яких вона має сталий знак, є невід"ємною або недодатною, а також ліву і праву границі функції в точках її розриву.

Областю визначення функції є об"єднання трьох інтервалів

;

точки є точками розриву другого роду функції, тому що при пряму-ванні x до 0 або до 5 знаменник прямує до нуля, а чисельник набуває відмінні від нуля значення - відповідно . Функція має два нулі, а саме , бо .

Нулі і точки розриву функції утворюють п"ять інтервалів

.

Оскільки, наприклад,

то на інтервалах

функція є додатною, на інтервалах

невід"ємною; на інтервалах

вона є від"ємною, а на інтервалах

недодатною.

Далі, враховуючи знаки функції в околах точок , отримуємо

.

Аналогічний метод можна застосовувати для випадку функцій двох змінних.

Приклад. Знайти область визначення функції двох змінних x, y

.

Розглянемо функцію (підкореневий вираз даної функції Z)

.

Областю визначення функції Z є множина точок площини xOy, для яких виконується нерівність

.

Функція дорівнює нулю на колі і не існує на колі . Ці кола поділяють площи-ну xОy на три частини 1, 2, 3 (див. рис. 8), в кожній з яких Рис. 8 функція має сталий знак (на підставі заключення 3 теореми 5). Для визначення цього знака ми знаходимо знаки функції в довіль-ній точці кожної частини, наприклад,

.

Отже, функція є додатною в частинах 1 і 3.

Відповідь. Областю визначення функції Z є заштриховане об"єднання круга (без його границі ) і зовнішності кола , включно з цим колом.

Приклад. Дослідити функцію

і побудувати наближений ескіз її графіка.

Будемо проводити дослідження в такому порядку.

1) Область визначення функції є . Графік функції не перетинає прямої , яка перпендикулярна до осі Ox.

2) Знаходимо інтервали, де функція має сталі знаки (скорочено: знаходи-мо інтервали знакосталості функції). Точки x = 0 (нуль функції) і x = 8 (точка розриву другого роду) утворюють три інтервали . На інтер-валі функція додатна, так що її графік лежить вище осі Ox. На інтервалах функція від"ємна, і її графік лежить нижче осі Ox.

3) Знаючи знаки функції, ми знаходимо її ліву і праву границі в точці розриву x = 8, а саме:

Отже, графік функції необмежено здіймається вго-ру, якщо і необмежено спускається вниз при .

4) Границя функції при

. Рис. 9 Це означає, що графік функції необмежено спускається вниз, якщо .

5) Знаходимо точки перетину графіка функції з осями Ox, Oy.

Oy: x = 0 y = 0 O(0;0);

Ox: y = 0 x = 0 O(0;0).

Беручи до уваги всі отримані результати, будуємо ескіз графіка (рис. 9).

Приклад. Самостійно проведіть дослідження і побудуйте ескіз графіка функції

.

.

Рис. 10

Вказівки.

1) .

2) на , на .

3) .

4) .

5) .

Ескіз графіка показано на рис. 10.