1.2. Неперервність функцій
1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
Означення 1. Функція
однієї або декількох змінних
називається неперервною в точці
,
якщо:
1) функція визначена в точці і деякому її околі;
2) існує границя функції
в точці ;
3) ця границя дорівнює значенню функції в точці ,
.
( 1 )
На мові теорії границь це означає:
.
Приклад. Функція
неперервна в довільній точці a.
■На підставі означення неперервної функції ми повинні довести, що
Нехай
- настільки мале, що
,
а число а, для
визначеності, є додатним.
Маємо
,
якщо
Таким чином на підставі означення границі
■
Аналогічно можна довести неперервність в будь-якій точці степеневої функції
з довільним натуральним показником.
Приклад. Функція
неперервна в довільній точці a
■ Потрібно довести, що
.
Для довільного
маємо
Таким чином,
,
якщо
Це означає, що
■
Доведіть самостійно неперервність в довільній точці функції
.
Зауважимо, що в п. 1.2.1 за
допомогою тригонометричного круга була
фактично доведена неперервність тангенса
в будь-якій точці
.
Там же відзначалася можливість аналогічним
чином довести неперервність си-нуса,
косинуса і котангенса (останнього – в
довільній точці
).
Теорема 1.
Функція однієї змінної
неперервна в точці
тоді і тільки тоді, якщо: a)
існують ліва і права границі
,
функції в точці a; b) ці границі дорівнюють значенню функції в цій точці,
.
( 2 )
Справедливість теореми випливає з теореми 2 попереднього розділу (див п. 1.2.2).
Означення 2. Функція
однієї змінної
називається
неперервною в точці
зліва,
якщо вона визначена в деякому інтервалі
і
.
Вона називається неперервною в точці
справа,
якщо вона визначена в якомусь ін-тервалі
і
.
Таким чином, функція однієї змінної є неперервною в точці тоді і тільки тоді, якщо вона в цій точці неперервна як зліва, так і справа.
Означення 3. Для
функції однієї змінної
різниця
називається приростом арґументу x, а різниця
( 3 )
- приростом функції в точці .
Очевидно, що
тоді і тільки тоді, якщо
,
.
Означення 4. Для функції n змінних різниці
,
називаються приростами її арґументів, n-вимірній вектор
- приростом її (n-вимірного) арґументу, а різниця
( 4 )
- приростом
(так званим повним приростом) функції
в точці
.
Очевидно (як і для випадку
),
тоді і тільки тоді, якщо
,
.
Теорема 2. Функція
неперервна
в точці
тоді і тільки тоді, ко-ли з
прямування до нуля приросту арґументу
випливає прямування до нуля
її приросту
в цій точці, або
якщо нескінченно малому приросту
арґументу відповідає нескінченно малий
приріст функції в точці
.
Теорема випливає з означення
границі функції в точці
,
якщо покласти b=
.
Означення 5. Функція називається неперервною на деякій мно-жині, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.
Зокрема, функція однієї
змінної є неперервною на відрізку
,
якщо:
1) вона неперервна в кожній
точці інтервалу
,
2) в точці
- неперервна справа (
),
3) в точці
- неперервна зліва (
).