Вопрос32 Функция. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Композиция функций. Элементарные функции.

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Способы задания функции

Аналитический способ

Для задания функции пользуются выражением: . При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис ( ). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Линейная функция.

графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность. выражается уравнением:

 

y = k / x ,

                                                 

где  k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10

Квадратичная функция. Это функция:  y = ax² + bx + c, где  a, b, c - постоянные,  a 0. В простейшем случае имеем:  b = c = 0  и   y = ax². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11

Показательная функция. Функция   y = a^x, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.

Логарифмическая функция. Функция 

y = log_ax, где  a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. 

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция  y = sinx представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

 

График функции  y = cosx представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sinx  вдоль оси Х  влево на 2

 

Графики функций  y = tanx  и  y = cotx  показаны соответственно на рис.21 и рис.22

      

 

Композиция функций

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл "сквозное отображение" из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .

Рис.1.30.Сквозное отображение

Вопрос33 Взаимно-однозначное соответствие между множествами. Обратное правило и обратная функция. Графики взаимно обратных функций. Определения, свойства и графики гиперболических функций. (тут уже начинается вынос мозга)

 

Множества A и B называют равномощными , если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие (ещё говорят: можно установить взаимно однозначное отображение множеств).

Мощность множества натуральных чисел обозначается א. Алеф א – первая буква еврейского алфавита, так обозначается наименьшая возможная для бесконечных множеств мощность.

 

Обратная функция.

Пусть функция y=f(x), заданная на множестве X, обратима. Это значит, что функция f различным значениям аргумента ставит в соответствие различные значения функции, т.е. для любых x1,x2∈X : x1/=x2⇒f(x1)/=f(x2).  В этом случае для каждого y∈Y=f(X)  существует один и только один элемент x∈X такой, что y=f(x). А это означает, что на множестве Y определена функция g:Y→X , которую и называют обратной функцией к функции y=f(x) и обозначают: x=f−1(y). При этом очевидно, что функция f является обратной к функции f−1. Поэтому функции y=f(x) и x=f−1(y) называют взаимно обратными. Т.о., если функция f:X→Y , где Y=f(X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f−1:Y→X  и если y=f(x) то x=f−1(y), и если x=f−1(y), то y=f(x) и f−1(f(x))=x при любом x∈X , f−1(f(y))=y при любом y∈Y.

1. Гиперболическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются функции :

; ; . Областью определения функций shx , chx , thx является вся числовая ось; функция y=cthx не определена в точке х=0. Название гиперболических функций (синус, косинус, …) объясняется тем, что для них справедливы тождества ''похожие'' на тригонометрические:

ch(x± y)=chx · chy ± shx · shy , (1)

sh(x± y)=shx · chy± chx · shy , (2)

ch2x–sh2x=1 , (3)

ch2x=ch2x+sh2x , (4)

sh2x=2shx · chx . (5)

Тождества (2) и (5) аналогичны соответствующим формулам тригонометрии, а формулы (1) , (3) и (4) отличаются от тригонометрических только знаком. Доказываются тождества (1) – (5) непосредственной проверкой. Более подробно о тождествах для гиперболических функций изложено в разделе III.

 

2. Рассмотрим уравнение гиперболы:

Его можно записать в параметрическом виде, используя гиперболические функции (этим и объясняется их название).

Обозначим y= b·sht , тогда х2 / а2=1+sh2t =ch2t . Откуда x=± a·cht .