10. Примеры решения задач

10.1. Комбинаторные задачи

При решении таких задач часто одновременно применяются и правила и формулы комбинаторики. Продемонстрируем это на примерах.

Пример 1. На книжной полке стоят 8 различных книг, из них 3 книги – по математике. Сколькими способами можно расставить эти книги так, чтобы

а) книги по математике стояли рядом;

б) книги по математике рядом не стояли?

а) Будем считать 3 книги по математике за одну, тогда получим 6 книг, которые можно расставить на полке способами. Учтем, что 3 книги по математике можно переставить относительно друг друга способами. Воспользовавшись правилом произведения, найдем n – число способов расстановки книг при указанных условиях:

.

б) Чтобы книги по математике рядом не стояли, можно использовать 6 мест: 4 места между книгами не по математике и по одному справа и слева от них. Число способов выбрать 3 места для книг по математике равно . Учитывая, что книги по математике можно переставить способами, а книги не по математике способами, получим, что n – общее число способов расставить книги нужным образом, равно:

.

Пример 2. Сколько имеется 5-значных чисел, в записи которых

а) ровно один раз встречается цифра 5;

б) хотя бы один раз встречается цифра 5;

в) встречается не более одной пятерки?

а) Запишем 5-значное число в виде: . Для записи числа можно использовать 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые в записи могут повторяться. Исключение составляет первая цифра, для записи которой нельзя использовать 0. Цифра 5 может стоять в числе на любом месте. Составим таблицу:

комбинации цифр
количество чисел

Таким образом, количество 5-значных чисел, удовлетворяющих условию а) равно .

б) Чтобы ответить на этот вопрос, нужно из общего количества 5-значных чисел вычесть те числа, где ни разу не встречается цифра 5. Найдем общее количество 5-значных чисел: . Подсчитаем, в скольких 5-значных числах не встречается цифра 5: . Тогда общее количество 5-значных чисел, удовлетворяющих условию б), равно .

в) 5-значные числа, в которых не более одной пятерки, это числа, в которых нет ни одной пятерки, и числа, в которых ровно одна пятерка. Количество тех и других установлено в пунктах а) и б). Зная их, найдем общее количество нужных нам чисел: .

Пример 3. Сколько можно составить автомобильных номеров, если в нем не более 4-х цифр?

Согласно условию задачи номер может содержать или одну цифру, или две, или три, или четыре цифры. Учитывая, что цифры в номере могут повторяться, а номер может начинаться с 0, найдем количество автомобильных номеров: .

Пример 4. В магазине продаются 6 видов пирожных. Сколькими способами можно составить набор из 4-х пирожных и из 4-х различных видов пирожных?

Поскольку при составлении набора порядок пирожных не играет роли, а сами пирожные могут повторяться, число способов составить набор это число сочетаний с повторениями по 4 из 6: .

При составлении набора из 4-х различных пирожных количество наборов определяется числом сочетаний без повторений по 4 из 6: .

Пример 5. Сколькими способами можно раздать 3 различных предмета 10 лицам, если а) каждому давать не более одного предмета; б) не ограничивать число предметов?

а) Первый предмет можно дать одному из 10, второй предмет – одному из 9, третий – одному из 8, т.е. искомое число способов равно числу размещений из 10 по 3: .

б) Первый предмет можно дать любому из 10 лиц, второй – тоже любому из 10, третий – любому из 10, т.е. число способов равно числу размещений с повторениями из 10 по 3: .

Пример 6. Сколькими способами можно раздать 3 одинаковых предмета 10 лицам?

Распределение предметов можно осуществить так: выбрать из 10 человек 3 и дать им по одному предмету; можно выбрать из 10 человек 2 и дать одному 2 предмета, другому – один (и наоборот); затем выбрать одного из 10 и дать все три предмета. Тогда искомое число способов n равно:

.

Пример 7. Сколько делителей имеет число 800?

Делителем числа называется натуральное число , на которое делится нацело. Каждое составное число можно разложить на простые множители, т.е. представить в виде: , где – простые числа, – натуральные числа. Делитель имеет следующий общий вид:

,

где принимает значение: ; а меняется от 1 до m. Тогда число способов составить делитель равно:

.

Разложим число 800 на простые множители: . Общий вид делителя , где  принимает 6 значений от 0 до 5, а  принимает 3 значения от 0 до 2. Следовательно, количество делителей равно: .

Пример 8. На автомобильной стоянке могут стоять в ряд 6 машин. Сколькими способами можно заполнить эту стоянку?

Каждое из мест может быть или занято или свободно, значит, число способов заполнить каждое место равно 2. Тогда общее число способов заполнить стоянку равно: .