4. Повторение независимых испытаний
4.1. Формула Бернулли
Проведение подряд
опытов (испытаний), в каждом из которых
событие А может осуществиться с
вероятностью p,
не зависящей от результатов предыдущих
испытаний, называется повторением
(схемой) независимых испытаний.
Вычислим вероятность
события
,
состоящего в том, что в серии из
опытов событие
наступит
раз. Событие
заключается в одновременном (т.е. во
время одной серии испытаний) осуществлении
событий
и
событий
(противоположных
).
Это произведение
может осуществиться различными способами.
Рассмотрим простой пример. Монету
подбрасываем 4 раза, пусть событие
– выпадение цифры (
=
0,5). Событие
(цифра выпала 2 раза из 4-х) может произойти
следующими способами:
Ц Ц Г Г ; Ц Г Ц Г ; Ц Г Г Ц ; Г Г Ц Ц ; Г Ц Ц Г ; Г Ц Г Ц .
Число способов осуществить нужное нам
событие совпадает с числом способов
выбрать два места из четырех и равно
числу сочетаний по два из четырех
.
В общем случае, когда проводится
опытов, число способов, когда событие
наступает
раз равно
.
Вероятность осуществления каждого
способа равна
,
события, соответствующие разным способам,
несовместны, поэтому вероятность того,
что в серии из
опытов событие
произойдет
раз, равна:
.
Полученная формула носит название
формулы Бернулли. Она достаточно
удобна при вычислении вероятностей при
небольших
и
(калькулятор типа “Электроника МК 51”
позволяет вычислить функцию
при
).
Пример. Перевозится партия из 10 деталей. Вероятность повреждения в пути отдельной детали = 0,2. Какова вероятность, что во время перевозки будет повреждено не более двух деталей?
В данном случае испытанием будет доставка
отдельной детали, т.к. деталей 10, то
= 10. Событие
– повреждение отдельной детали.
Интересующее нас событие
– повреждение не более двух деталей –
состоит либо в благополучной доставке
всех деталей (0 деталей повреждено,
= 0), либо в повреждении 1 детали (
= 1), либо в повреждении 2 деталей (
= 2). Значит,
;
.
В некоторых задачах бывает необходимо
использовать формулу Бернулли несколько
по-иному. Известна вероятность
,
с которой событие А может произойти
в отдельном опыте, задается вероятность
,
с которой в серии из
опытов событие А должно произойти не
менее, чем
раз. Нужно установить, каково должно
быть число опытов
для достижения нужной вероятности. В
этом случае нужно, задаваясь различными
значениями
(начиная с
),
вычислять вероятность искомого события
по формуле
до тех пор, пока величина
не
достигнет
.
Пример. Вероятность p того, что отдельный саженец приживется при посадке, равна 0,8. Сколько нужно взять саженцев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,85 прижились, по крайней мере, 5 саженцев?
Пусть число саженцев n
= 5. Нас устраивает вариант, когда
приживутся все 5. Вероятность этого
.
Как видно, она недостаточна. Возьмем n
= 6. Походящим будет случай, когда
приживутся или 5 из 6 саженцев, или все
6. Вероятность этого
.
Эта вероятность также меньше указанной в задаче. Возьмем n = 7. Благоприятным исходом будет, если приживутся или 5 из 7 саженцев, или 6 из 7, или все 7. Вероятность этого
Вероятности
при заданных значениях n
и p изменяются в
зависимости от m. Число
,
при котором вероятность
имеет наибольшее значение, называется
наивероятнейшим числом наступлений
события. Его можно определить из системы
неравенств:
Преобразование данной системы приводит к двойному неравенству:
.
Пример 1. Вероятность изготовления изделия высшего сорта на данном предприятии равна 0,78. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 150 изделий?
Наивероятнейшее число изделий
должно удовлетворять двойному неравенству:
или
.
Целым числом, удовлетворяющим данному
неравенству, будет
=
117.
Пример 2. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 55?
В данной задаче p = 1/6 и должно выполняться неравенство
Это неравенство можно заменить системой:
