11

Лекція 1

1. Первісна. Невизначений інтеграл та його властивості План:

1. Первісна

2. Невизначений інтеграл та його властивості

3. Таблиця основних формул та їх застосування

4. Інтегрування частинами

5. Інтегрування підстановкою

Українсько-російський словник вжитих в лекції слів, які в мовах мають різне звучання.

Первісна – первообразная Доданок – слагаемое Невизначений інтеграл – – неопределённый интеграл Властивості – свойства Довільна – произвольная Похідна – производная Початкова – начальная Відома – известная Мати – иметь

Спочатку – сначала Невистачає – недостаёт Застосування –применение Одержимо – получим Звідси – отсюда Зверніть увагу – обратите внимание Обчислення – вычисление Перетворення – –преобразование

Напам´ять – наизусть Простежимо – проследим Наважились – осмелились Турбуючись – беспокоясь Заздалегідь бачене – –наперёд виденное Наслідки – последствия Досвід – опыт Добувся корінь – –извлёкся корень Остаточно – окончательно

Математичні факти з попередніх розділів, які використовуються в даній лекції.

1. Без знання напам´ять правил знаходження диференціалів і вміння їх обчислювати для конкретних функцій годі навіть намагатися зрозуміти обчислення первісних та невизначених інтегралів. А тому з чисто формальної сторони з того, що .

2. Інваріантність (це іноземне слово означає – незмінність чого-небудь) форми диференціалу полягає в тому, що при , а , а для диференціалу одержимо один і той же вигляд: , тут , тобто форма першого диференціала не залежить від того, чи є аргумент функції незалежною величиною, чи є в свою чергу функцією другого аргументу.

3. Первісною для функції в старших класах школи Ви називали функцію тоді, коли виконувалась рівність . Слід пригадати три правила знаходженні первісних:

І) якщо первісна для , то первісна для , де ;

2) якщо первісні відповідно для , то

є первісна для ;

3) якщо первісна для , то первісна для , де

;

4. При інтегруванні доведеться використовувати заміну типу: , з якої, про- інтегрувавши одержаний вираз, треба виразити через . Для цього приходиться розв´язувати найпростіше тригонометричне рівняння . Тут ми беремо головне значення арксинуса. При перетворенні і доведенні проінтегрованого виразу до відповіді часто приходиться обчислювати при відомому . Не варто поспішати підставляти і одержувати . Треба робити так: , і тепер підставити та одержати .

1.1. Первісна

1.1.1. Постановка задачі знаходження первісної.

Згадаємо свої перші кроки при вивченні математики і пізнанні навколишнього світу. Спочатку Вас навчили додавати два числа. І майже одночасно ввели операцію обернену до додавання – операцію віднімання. Далі таке ж трапилось і при вивченні множення. Майже одночасно з множенням вам ввели операцію до нього обернену – операцію ділення. І саме число обернене до числа визначили через ділення – 1/n . Далі у Вас була операція піднесення до степеня, і операції їй обернені. У зв’язку з тим, що то таких їх було дві: знаходження кореня і знаходження логарифму. Світ біполярний: є тепле і холодне; сухе і мокре; чорне й біле; позитивне й негативне. Природно гадати, що і введення операції диференціювання приведе до їй оберненої операції, як це було з додаванням, множенням та піднесенням до степеня. Так воно і є. А оберненою до диференціювання операцією є операція знаходження тієї функції від якої ми знайшли диференціал. Тобто, якщо у виразі знаходження диференціала ми назвемо функцію вторинною, то тоді вимушені будемо функцію із якої ця вторинна функція одержалась через похідну, назвати первинною. Але вірно говорити не первинна а первісна. Переходячи до образних порівнянь, можна навести такий приклад. Коли громадянин А йде в фотоательє і робить там свій фотопортрет , то цей фотопортрет ми називаємо похідною від А, він є похідною від первинного образу А. Процес пошуку в натовпі самого громадянина, образ якого (фото) ви тримаєте перед собою, можна назвати знаходження первообразу.

1.1.2.Означення. Первісною від функції в заданому інтервалі називається функція , похідна від якої дорівнює . Знаходження первісної і похідної від неї можна зобразити у вигляді ходіння по замкненому колу, див. схема 1:

Схема 1.1.

Приклади.

Функція	Первісна	Первісна	Первісна

1.2.3. Основна теорема про первісні. Яка завгодно неперервна функція має незчисленну множину первісних, причому які завгодно дві з них відрізняються одна від одної лише постійним доданком.

Доведення. Нехай функція , буде первісна від функції .Так як , то і функція також буде первісною від , а так як постійна С може приймати яке завгодно значення, то цим і доводиться, що первісних буде незчисленна множина. Покажемо тепер, що які завгодно дві первісні відрізняються одна від одної на постійну величину. Нехай , дві первісні від функції . Тоді , . Віднімаючи одну рівність від другої одержимо:

. Але ж якщо похідна від виразу дорівнює нулеві, то цей вираз є постійною величиною. Тобто і ми довели, що дві первісні відрізняються між собою лише на постійну величину.

Пригадуючи геометричний зміст похідної, як тангенс кута між віссю Ох і дотичною, проведеною в точці до кривої , ми відчуваємо невизначеність положення цієї кривої на площині хОу. Вона ковзає вздовж вісі Оу. На рисунку 1.1 зображені декілька інтегральних кривих при .

При дотичні до всіх зображених (і не зображених) кривих будуть паралельними і тангенс кута нахилу їх до вісі Ох дорівнюватиме . Очевидно, що рівнянню на

Рис. 1.1. площині хОу буде відповідати множина або, як кажуть, однопараметричне сімейство кривих. С тут виступає параметром.