- •Физика: Колебания и волны Модуль №5 Конспект лекций
- •5.1. Свободные незатухающие гармонические колебания
- •5.2. Математический маятник
- •5.3. Свободные незатухающие электромагнитные колебания
- •5.4. Сложение гармонических колебаний, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой
- •5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •5.6. Затухающие механические колебания
- •Характеристики затухающих колебаний
- •5.7. Затухающие электромагнитные колебания
- •5.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •5.9. Вынужденные электромагнитные колебания
- •5.10. Переменный ток
- •5.11. Векторная диаграмма для цепи переменного тока
- •5.12. Волны в упругих средах.
- •5.13. Стоячие волны.
- •5.14. Электромагнитные волны
- •5.15. Излучение электромагнитных волн. Шкала электромагнитных волн
- •Библиографический список
- •Модуль №5
- •620002, Екатеринбург, Мира 17
5.5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
а). Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы
Получим уравнение траектории результирующего движения:
; ;
;
;
;
(5.44)
уравнение траектории результирующего движения.
Частные случаи:
; ; ;
(5.45)
уравнение прямой. Траектория движения в этом случае изображена на рис. 5.9.
; ;
(5.46)
-уравнение прямой. Траектория результирующего движения изображена на рис. 5.10.
(5.47)
уравнение эллипса (при получается окружность).
Траектория результирующего движения изображена на рис.5.11.
Знак разности начальных фаз определяет направление движения точки по траектории.
б) Пусть частоты складываемых колебаний различны. В этом случае траектория результирующего движения зависит от отношения частот складываемых колебаний. Траектория результирующего движения при сложении взаимно перпендикулярных колебаний называется фигурой Лиссажу.
Пример:
, (5.48)
, (5.49)
; ; ;
; ; (5.50)
уравнение параболы.
Фигура Лиссажу для случая изображена на рис.5.12.
Количество пересечений фигуры Лиссажу с осями координат Ox и Oy обратно пропорционально отношению частот складываемых колебаний.
. (5.51)
5.6. Затухающие механические колебания
Затухающие колебания возникают, если на систему, кроме упругой силы, действует сила сопротивления. II закон Ньютона:
, (5.52)
где , (5.53)
а - коэффициент сопротивления, - скорость системы.
Обозначим: , (5.54)
; , - коэффициент затухания. (5.55)
В проекции на ось Ох уравнение (5.54) приобретает вид:
(5.56)
дифференциальное уравнение затухающих механических колебаний.
Решение этого уравнения имеет вид:
, (5.57)
где (5.58)
- амплитуда затухающих колебаний.
Зависимость смещения от времени для этих колебаний представлена на рис. 5.13.
Энергия системы уменьшается из-за совершения работы против сил сопротивления, ее зависимость от времени имеет вид:
. (5.59)
Характеристики затухающих колебаний
- коэффициент затухания; ;
частота затухающих колебаний:
; (5.60)
период затухающих колебаний:
; (5.61)
декремент затухания:
; (5.62)
логарифмический декремент затухания:
; (5.63)
время релаксации (это время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз):
; ; ; ; (5.64)
число колебаний , за которое амплитуда уменьшается в раз:
. (5.65)
5.7. Затухающие электромагнитные колебания
Такие колебания возникают в колебательном контуре, который, кроме индуктивности и емкости , обладает активным сопротивлением . При протекании тока через сопротивление выделяется мощность, которую можно найти по закону Джоуля-Ленца . Вследствие этого полная энергия контура уменьшается с течением времени:
. (5.66)
; (5.67)
.
Обозначим ; , - коэффициент затухания электромагнитных колебаний;
; .
С учетом этих обозначений последнее уравнение приобретает вид:
(5.68)
Это – дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний. Оно аналогично (5.56). Решение этого уравнения имеет вид, аналогичный (5.57):
, (5.69)
где - амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора. График зависимости заряда от времени изображен на рис 5.15.
Характеристики затухающих электромагнитных колебаний:
коэффициент затухания: ;
частота затухающих колебаний: ;
период затухающих колебаний: ;
декремент затухания: ;
логарифмический декремент затухания:
; ;
время релаксации :
; ;
число колебаний за время релаксации :
.
В колебательном контуре, обладающем , и , возможны следующие режимы работы:
п
Рис. 5.16
ри малом затухании ( ) происходит периодическое изменение заряда на обкладках конденсатора (рис. 5.15). Этот режим называется периодическим;при сильном затухании ( ) колебаний заряда не происходит (рис. 5.16), величина - мнимая. Этот режим называется апериодическим.
( );
; (5.70)
Э тот режим работы называется критическим. Сопротивление контура , при котором наблюдается этот режим, называется критическим. Зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени в критическом режиме изображена на рис. 5.17.