Глава 6. Теоремы об изменении момента

количества движения точки и кинетического

момента системы

6.1. Момент количества движения материальной точки

относительно центра и оси

Моментом количества движения точки М относительно центра О (рис. 3.38, а) называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора точки на ее количество движения.

.

Вектор момента количества движения точки приложен к центру О и направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы и , в сторону, откуда поворот вектора к вектору на наименьший угол виден против часовой стрелки.

Модуль момента количества движения вычисляется по формуле

Рис. 3.38

Момент L_z количества движения точки М относительно оси z (рис. 3.38, б) равен взятому со знаком плюс или минус произведению проекции вектора количества движения на плоскость I, перпендикулярную оси z, на плечо этой проекции относительно точки О пересечения оси z с плоскостью I:

;

причем , если, смотря навстречу оси z, можно видеть про­екцию вектора количества движения относительно точки О, направленной против вращения часовой стрелки, и — в обратном случае.

Моменты количества движения точки относительно центра О и от­носительно оси z, проходящей через этот центр, связаны зависимостью

,

т.е. проекция момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра на ось, проходящую через этот центр, равна моменту количества движения точки относительно этой оси. Аналитические выражения моментов количества движения точки относительно осей координат имеют вид:

где x, у, z — координаты движущейся точки М; — проек­ции скорости точки М на оси координат.

6.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра и оси

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно произвольно выбранного неподвижного центра равна геометри­ческой сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Так как проекция векторной производной на любую ось равна про­изводной от ее проекции на эту ось, то, проецируя векторное равенство на оси x,y,z, получим три равенства:

, (3.16)

где моменты количества движения точки М относительно осей координат, а моменты силы относительно этих же осей.

Равенства (3.16) выражают теорему об изменении момента коли­чества движения точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторой неподвижной оси равна алгебраической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно этой же оси.

Следствия из теорем.

1. Если равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке, проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

2. Если момент равнодействующей всех сил, приложенных к материальной точке, относительно некоторой оси равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным.