Глава 13. Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах

13.1. Обобщенная сила

Обобщенной силой , соответствующей обобщен­ной координате , называют скалярную величину, определяемую отно­шением элементарной работы действующих сил на перемещение механи­ческой системы, вызванном элементарным приращением координаты к величине этого приращения (рис. 3.86):

.

где - приращение радиуса-вектора; - приращение координаты.

Рис. 3.86

Задача 3.25. Груз А весом Р движется под действием силы F вверх по негладкой наклонной плоскости, расположенной под углом  α к горизонту. К грузу А привязан конец нити, намотанной на барабан В радиуса r. Барабан вращается вокруг неподвижной оси С, перпендикулярной к плоскости рисунка. К барабану приложена пара сил полезного сопротивления с моментом , направленными в сторону, противоположную вращению барабана (рис. 3.87). Выбрать обобщенную координату и определить соответствующую ей обобщенную силу. Нить считать нерастяжимой и массой ее пренебречь. Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен f.

В случае если главный момент внешних сил относительно оси вращения тела постоянен, .

Рис. 3.87

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы, так как положение на наклонной плоскости груза А определяет положение барабана В.

Выберем координату s груза А в качестве обобщенной координаты, направив ось s вдоль наклонной плоскости вверх. Обозначим вес барабана .

К системе приложены задаваемые силы: - вес груза А, - вес барабана В, - сила, приложенная к грузу, пара сил полезного сопротивления с моментом . Негладкая наклонная плоскость не является идеальной связью.

Поэтому к задаваемым силам следует добавить силу трения скольжения груза о наклонную плоскость, направленную в сторону, противоположную движению, т.е. вдоль наклонной плоскости вниз и равную по модулю

.

Дадим грузу  А   обобщенное возможное перемещение  в сторону возрастания s, т.е. параллельно наклонной плоскости вверх.

При этом барабан В получит возможное угловое перемещение , связанное с   зависимостью

  . (а)

Вычислим сумму работ задаваемых сил и силы трения скольжения на возможных перемещениях точек системы, соответствующих обобщенному возможному перемещению   :

  . (б)

Находим

, (в)

  , (г)

, (д)

  , (е)

так как точка приложения силы неподвижна,

  .  (ж)

Воспользовавшись формулами (а), (в), (г), (д), (е) и (ж), представим (3.77) в виде

  . (з)

Обобщенной силой является коэффициент, стоящий в формуле (з) при обобщенном возможном перемещении   , т.е.

.

Если бы в качестве обобщенной координаты мы выбрали угол поворота барабана  φ, считая его положительным по часовой стрелке, то мы дали бы обобщенное возможное угловое перемещение  δφ в том же направлении. При этом формулы (в), (г), (д), (е) и (ж) приняли бы соответственно вид

;   ;

;

;   .

После подстановки этих значений в формулу (б) мы получили бы

.

Обобщенной силой явился бы коэффициент, стоящий при   , т.е.

.