Этап 2

ЗАДАНИЕ

По заданной совокупности реализаций случайной величины X построить пара-метрическую оценку её плотности вероятности и функции распределения.

1) Дана выборка из 30 чисел

2) Найти её вариационный ряд и экстремальные значения

3) Найти оценку математического ожидания, выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения

4) Рассчитать и построить гистограмму, сформулировать гипотезу о законе распределения X

5) На уровне значимости α=0.05 проверить H₀ по критерию Пирсона.

6) Проверить альтернативные гипотезы, используя предложенные варианты законов распределения.

1. Дана выборка из n=30 элементов:

2. Запишем вариационный ряд данной выборки. Он представляет собой набор элементов выборки, упорядоченных по возрастанию.

Экстремальные значения выборки:

x_min=0,312 – минимальное значение;

x_max=5,726 – максимальное значение.

3. Найдем оценку математического ожидания, выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Математическое ожидание или статистическое среднее выборки определяется по формуле:

, (1)

где x_i – i-й элемент выборки, n – объем выборки.

Применим ее для вычисления математического ожидания M*[X] нашей выборки из n=30 элементов:

M*[X]=(0,312+0,431+0,58+0,6+0,629+0,639+0,662+0,886+0,978+1,019+1,334+1,357+

+1,377+1,539+1,546+1,685+1,702+1,735+1,913+1,974+2,09+2,508+2,619+2,738+2,833+

+2,901+3,757+3,879+4,373+5,726)/30=56,332/30=1,877733≈1,878.

Таким образом, M*[X]=1,878.

Дисперсия выборки определяется по формуле:

, (2)

где =M[X] – статистическое среднее.

Применим ее для вычисления дисперсии D*[X] нашей выборки из n=30 элементов:

D*[X]=[(0,312-1,878)²+(0,431-1,878)² +(0,58-1,878)²+(0,6-1,878)²+(0,629-1,878)²+(0,639-1,878)²+(0,662-1,878)²+(0,886-1,878)²+(0,978-1,878)²+(1,019-1,878)²+(1,334-,878)²+(1,357-1,878)²+(1,377-1,878)²+(1,539-1,878)²+ (1,546-1,878)²+(1,685-1,878)²+ (1,702-1,878)²+ +(1,735-1,878)²+(1,913-1,878)²+(1,974-1,878)²+(2,09-1,878)²+(2,508-1,878)²+(2,619-1,878)²+(2,738-1,878)²+(2,833-1,878)²+(2,901-1,878)²+ +(3,757-1,878)²+ +(3,879-1,878)²+ +(4,373-1,878)²+(5,726-1,878)²]/30=48,35768/30=1,611923≈1,612.

Таким образом, D*[X]= 1,612.

Среднее квадратическое отклонение рассчитывается по формуле:

. (3)

Среднеквадратическое отклонение для нашей выборки равно:

=(1,612)^1/2=1,269615≈1,267.

4. Рассчитать и построить гистограмму, сформулировать гипотезу о законе распределения св X.

Гистограмма строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из разрядов как их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

Разобьем диапазон, в который входит наша выборка, на k=8 интервалов. Длина каждого из них:

=(5,726-0,312)/8=0,67675.

Здесь x_min и x_max – округленные до сотых долей значения нижней и верхней границ выборки. Пусть x_min=0,31, x_max=5,73. Тогда

∆=(5,73-0,31)/8=0,6775.

Рассмотрим каждый из интервалов ∆_i , вычислим частоту p_i* попадания в этот интервал и высоту h_i прямоугольника для построения гистограммы:

, (4)

где m_i – количество элементов из выборки, попавших в интервал ∆_i;

. (5)

1) [x₁; x₂]=[0,31; 0,31+∆]=[0,31; 0,31+0,6775]=[0,31; 0,9875].

В этот интервал попадает m₁=9 элементов из выборки. Следовательно,

p₁*=m₁/n=9/30=0,3;

h₁= p₁*/∆=0,3/0,6775=0,4428…≈0,443.

2) [x₂; x₃]=[ 0,9875; 0,9875+∆]=[0,9875; 0,9875+0,6775]=[ 0,9875; 1,665].

В этот интервал попадает m₂=6 элементов из выборки. Следовательно,

p₂*=m₂/n=6/30=0,2;

h₂= p₂*/∆=0,2/0,6775=0,2952…≈0,296.

3) [x₃; x₄]=[ 1,665; 1,665+∆]=[1,665; 1,665+0,6775]=[ 1,665; 2,3475].

В этот интервал попадает m₃=6 элементов из выборки. Следовательно,

p₃*=m₃/n=6/30=0,2;

h₃= p₃*/∆=0,2/0,6775=0,2952…≈0,296.

4) [x₄; x₅]=[ 2,3425; 2,3425+∆]=[2,3425; 2,3425+0,6775]=[ 2,3425; 3,02].

В этот интервал попадает m₄=5 элементов из выборки. Следовательно,

p₄*=m₄/n=5/30=0,1666…≈0,167;

h₄= p₄*/∆=0,167/0,6775=0,2464…≈0,246.

5) [x₅; x₆]=[ 3,02; 3,02+∆]=[3,02; 3,02+0,6775]=[ 3,02; 3,6975].

В этот интервал попадает m₅=0 элементов из выборки. Следовательно,

p₅*=m₅/n=0/30=0;

h₅= p₅*/∆=0/0,6775=0.

6) [x₆; x₇]=[ 3,6975; 3,6975+∆]=[3,6975; 3,6975+0,6775]=[ 3,6975; 4,375].

В этот интервал попадает m₆=3 элементов из выборки. Следовательно,

p₆*=m₆/n=3/30=0,1;

h₆= p₆*/∆=0,1/0,6775=0,1476…≈0,148.

7) [x₇; x₈]=[ 4,375; 4,375+∆]=[4,375; 4,375+0,6775]=[ 4,375; 5,0525].

В этот интервал попадает m₇=0 элементов из выборки. Следовательно,

p₇*=m₇/n=0/30=0;

h₇= p₇*/∆=0/0,6775=0.

8) [x₈; x₉]=[ 5,0525; 5,0525+∆]=[5,0525; 5,0525+0,6775]=[ 5,0525; 5,73].

В этот интервал попадает m₈=1 элементов из выборки. Следовательно,

p₈*=m₈/n=1/30=0,0333…≈0,033;

h₈= p₈*/∆=0,033/0,6775=0,0492…≈0,049.

Занесем полученные данные в таблицу:

Интервал	Частота	Высота
[0,31; 0,9875]	0,3	0,443
[ 0,9875; 1,665]	0,2	0,296
[ 1,665; 2,3425]	0,2	0,296
[ 2,3425; 3,02]	0,167	0,246
[ 3,02; 3,6975]	0	0
[ 3,6975; 4,375]	0,1	0,148
[ 4,375; 5,0525]	0	0
[ 5,0525; 5,73]	0,033	0,049

На основании этой таблицы построим гистограмму:

Выдвигаем гипотезу H₀ об экспоненциальном законе распределения СВ X. В общем виде функция плотности распределения показательного закона выглядит так:

, (6)

а функция распределения:

, (7)

где .

Рассчитаем оценку параметров и :

=0,312, =1/(1,878-0,312)=0,638.

Таким образом, функция плотности распределения для нашей выборки будет иметь вид:

, , (8)

а функция распределения:

, . (9)

Расчетная формула для вычисления вероятности p_i попадания в интервал

∆_i =[x_i, x_i+1] для экспоненциального закона распределения имеет вид:

p_i=P(x_i<X<x_i+1)=F(x_i+1)-F(x_i)= . (10)

Интервалы возьмем те, которые мы рассчитывали выше при построении гистограммы:

[x₁; x₂]=[0,312; 0,9875]: p₁=e^{-0,638 (0,312-0,312)}-e^{-0,638 (0,9875-0,312)}= 0,35;

[x₂; x₃]=[ 0,9875; 1,665]: p₂=e^{-0,638 (0,9875-0,312)}-e^{-0,638 (1,665-0,312)}= 0,228;

[x₃; x₄]=[ 1,665; 2,3425]: p₃=e^{-0,638 (1,665-0,312)}-e^{-0,638 (2,3425-0,312)}= 0,149;

[x₄; x₅]=[ 2,3425; 3,02]: p₄=e^{-0,638 (2,3425-0,312)}-e^{-0,638 (3,02-0,312)}= 0,095;

[x₅; x₆]=[ 3,02; 3,6975]: p₅=e^{-0,638 (3,02-0,312)}-e^{-0,638 (3,6975-0,312)}= 0,062;

[x₆; x₇]=[ 3,6975; 4,375]: p₆=e^{-0,638 (3,6975-0,312)}-e^{-0,638 (4,375-0,312)}= 0,04;

[x₇; x₈]=[ 4,375; 5,0525]: p₇=e^{-0,638 (4,375-0,312)}-e^{-0,638 (5,0525-0,312)}= 0,026;

[x₈; x₉]=[ 5,0525; 5,73]: p₈=e^{-0,638 (5,0525-0,312)}-e^{-0,638 (5,73-0,312)}= 0,017.

На основании полученных данных построим таблицу:

№	Интервал	Вероятность
1	[0,312; 0,9875]	0,35
2	[ 0,9875; 1,665]	0,228
3	[ 1,665; 2,3425]	0,149
4	[ 2,3425; 3,02]	0,095
5	[ 3,02; 3,6975]	0,062
6	[ 3,6975; 4,375]	0,04
7	[ 4,375; 5,0525]	0,026
8	[ 5,0525; 5,73]	0,017

5. На уровне значимости α=0.05 проверить H₀ по критерию Пирсона.

Проверим гипотезу H₀, состоящую в том, что СВ X имеет экспоненциальный закон распределения, по критерию хи-квадрат Пирсона.

Метод проверки по критерию Пирсона состоит в следующем.

Выбирается малое положительное число α, называемое уровнем значимости критерия (в нашей задаче α=0,05).

Вычисляется статистика критерия Пирсона:

, (11)

где k – число интервалов, на которые разбита выборка СВ; p_i* - статистическое значение вероятности на интервале ∆_i; p_i – теоретическое значение вероятности на интервале ∆_i . Статистика критерия g_n - мера расхождения статистического и теоретического распре-делений.

Если гипотеза H₀ верна и n достаточно велико, то g_n можно считать реализацией случайной величины χ²(r), имеющей распределение хи-квадрат с r степенями свободы.

По таблице или численно находят число , являющееся решением уравнения

_, (12)

(где - квантиль уровня значимости 1-α распределения χ²(r)) и формируют крити-ческую область =( , ).

Гипотеза H₀ отвергается, если и принимается, если .

Определим критическую область . Т.к. уровень значимости α=0,05, а число степеней свободы r=7, то по таблице квантили находим, что =14,07. Следовательно, критическая область =(14,07; ). А это значит, что гипотеза H₀ принимается, если статистика критерия Пирсона лежит в пределах области G=(0; 14,07). В противном случае гипотеза отвергается.

Вычислим статистику критерия Пирсона для экспоненциального распределения по формуле (11):

g_n=30·[(0,443-0,35)²/0,35+(0,296-0,228)²/0,228+(0,296-0,149)²/0,149+(0.246-0,095)²/0,095+(0-0,062)²/0,062+(0,148-0,04)²/0,04+(0-0,026)²/0,026+(0,049-0,017)²/0,017]= =26,096.

Таким образом, g_n=26,096. Т.к. =(0; 14,07), то гипотеза H₀ о том, что СВ X имеет экспоненциальное распределение, отвергается.