Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то   такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производнаяg'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то   такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

22) Бесконечно малая последовательность. Доказать теорему о последовательности, её пределе и бесконечно малой последовательности. Доказать теорему о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.

Для того что бы число а являлось пределом последовательности a_n необходимо и достаточно чтобы последовательность {a_n-a} была бесконечно малой.

Произведение ограниченной и бесконечно малой последовательностей, так же является бесконечно малой последовательностью.

24) Бесконечно большая последовательность. Доказать теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если для любого числа А найдётся такое N, что для любого n>N будет выполняться неравенство |a_n|<A.

Если последовательность а_n является бесконечно большой, то последовательность 1/a_n является бесконечно малой.

31) Бесконечно малая функция. Доказать теорему о функции, её пределе и бесконечно малой функции.

Бесконечно малая функция – это функция, предел которой равен нулю.

Число А является пределом функции y=f(x) при xa тогда и только тогда, когда эту функцию можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции.

Доказательство:

Пусть f(x)=A+(x), где (x)-бесконечно малая функция при xa. Это значит, что каково бы ни было >0, найдётся такое >0, что если |x_n-a|<, то |(x)|<  и |f(x)-A|<, т.е число А является пределом функции.

52) Доказать теорему о производной обратной функции.

Пусть функция f(x) имеет обратную функцию и конечную, отличную от нуля производную. Тогда для обратной функции существует производная, равная 1/f’(x).

45) Производная, её геометрический смысл. Вывести формулы касательной и нормали к графику функции в точке.

Производной данной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Геометрический смысл производной в точке, это тангенс угла наклона касательной к этой точке.

55) Дать определения максимума и минимума в точке. Доказать необходимое условие экстремума функции в точке (теорему Ферма). Дать определения стационарных и критических точек.

Точка х₀ называется точкой локального минимума (максимума) для функции y=f(x) если найдётся такая окрестность этой точки (х₀-, х₀+), что для любого х(х₀-, х₀+) f(x)f(х₀) (f(x)f(х₀))

Теорема Ферма: Если функция имеет в точке экстремума конечную производную, то эта производная равна нулю.

Стационарные точки – это точки в которых вторая производная равна нулю.

Критические точки это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

56) Доказать теорему Роля и теорему Лагранжа о конечном приращении функции. Рассказать о геометрической интерпретации этих теорем.

Теорема Роля: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], имеет конечную производную в точке этого отрезка и принимает на концах отрезка равные значения, то между а и b существует хотя бы одна точка с, в которой f’(с)=0.

Теорема Лагранжа: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и имеет конечную производную в каждой точке, принадлежащей этому отрезку, то между а и b найдется, по крайней мере, одна точка с, в которой f’(с)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа заключается в том, что если точки (a, f(a)) и (b, f(b)) на графике функции соединить хордой, то на отрезке [a, b] будет лежать точка с, в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде. Что бы доказать это достаточно вычислить угловой коэффициент хорды.

Если в формулу Лагранжа вместо а и b подставить x и x+)x, то получим

f(x+)x)-f(x)=f’(x+)x) )x, где [0, 1]

от куда f(x+)x)=f(x)+f’(x+)x) )x

эта формула называется формулой конечных пределов и используется для приближённых вычислений.