1)Линейные операторы. Матрица. Свойства.

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A(x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y= A(x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u).

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных иликомплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Свойства:

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Ассоциативность сложения: Коммутативность сложения: 

Ассоциативность умножения: 

Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.

2) Подобные матрицы. Матрица перехода.

Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что:

Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных координатных системах; при этом матрица Р являетсяматрицей перехода от одной системы к другой.

Матрицей перехода от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается 

^{Так как}

^.

^.

^.

^.

^{Матрица перехода это}

7)Метод Ньютона

Метод Ньютона — это итерационный численный метод нахождения нуля заданной функции.

Суть метода

Берется какое-либо число а₁ как можно ближе к искомому корню х₀  и принимается за первое приближение корня (см. рис.). Затем через точку А₁ с координатами (а₁;f(a₁)) проводится касательная к графику функции у =  f(x) до пересечения с осью абсцисс в точке (а₂; 0). Эта точка пересечения дает нам второе приближение корнях₀. Повторяя этот процесс, получаем все более и более точные значения а₀; а₁; а₂; … корня  х₀.

С помощью уравнения касательной можно вывести рекуррентную формулу, выражающую очередное, i-е приближение а_i через предыдущее: .