3)Собственные значения и собственные векторы оператора.

Число называется собственным значением оператора f, соответствующим этому собственному вектору. Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор имеет координатный столбец X, то или  Собственные числа линейного оператора - корни характеристического уравнения , где - матрица оператора f, - символ Кронекера. Для каждого собственного значения соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения или соответствующей ему системы линейных уравнений

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если ( для комплексного ), такое, что 

4)Симметрические операторы.

 Линейный оператор называется симметрическим, если для любых вектороввыполняется.

Перечислим основные свойства симметрического линейного оператора: 1. Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе симметрична.  2. Собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. 3.Всякому собственному числу кратности k симметрического оператора соответствует линейно независимая система из k собственных векторов.  4.Для всякого симметрического линейного оператора существует базис в пространстве, состоящий из его собственных векторов.

5)Формула Кардана.

Формула Кардана — формула для нахождения корней кубического уравнения виданад полемкомплексных чисел. К такому виду может быть приведено любое кубическое уравнение при помощи следующей замены:

Формула Кардана имеет вид:

где

6)Границы корней. Теорема Штурма.

Для многочлена 

1) верхняя граница модулей корней - число где

2) верхняя граница положительных корней - число гдеB - наибольшее число из модулей отрицательных коэффициентов; k - номер первого из отрицательных коэффициентов;

3) нижняя граница положительных корней - число где- верхняя граница положительных корней многочлена

4) верхняя граница отрицательных корней - число -где- верхняя граница положительных корней многочлена

5) нижняя граница отрицательных корней - число -где- верхняя граница положительных корней многочлена

Теорема Штурма: Если действительные числа a и b,a<b,не являются корнями многочлена f(x),не имеющего кратных корней, тоW(a)>=W(b) и разность W(a)-W(b) равна числу действительных корней многочлена f(x) заключенных между a и b.

8)Метод деления отрезка.

Пусть дано уравнение f(x)=0, функция f(x) непрерывна на интервале [a,b]. Условие f(a) f(b)<0 указывает тогда на наличие хотя бы одного корня на этом отрезке.

Поделим отрезок [a,b] пополам точкой c, координата которой c=(a+b)/2 и вычислим значение функции f(c).

После исключения правой или левой половины отрезка продолжают деление пополам до тех пор, пока длина оставшегося интервала [a, b] не станет меньше некоторой заданной малой величины  , т.е.  b-a < , и тогда любое значение аргумента из отрезка [a, b] можно считать корнем с погрешностью  . Обычно принимают в качестве корня середину отрезка.