Уравнение пучка прямых Уравнение прямой в отрезках

11. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Общее уравнение прямой и его исследование

Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:

,

              -                                         (3.6)

общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).

1)        Если , т.е. уравнение (3.6) не содержит , то оно представляет прямую, параллельную оси (рис. 3.9):

.

Если  - уравнение оси .

2)        Если  (уравнение не содержит ), тогда прямая параллельна оси (рис.3.10):

.

Если  -  уравнение оси .

3)      Если , тогда уравнение имеет вид  и прямая проходит через начало координат (рис. 3.8).

Точка пересечения прямых

Если заданы две прямые       и    , то координаты точки их пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы: .

Если прямые не параллельны, т.е. , то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.

12. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).

Предел числовой последовательности

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу  поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :

.

Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: .

Числа  называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

1)  (монотонная, неограниченная),

2)  (не монотонная, ограниченная)

3)

Рассмотрим  числовую последовательность , изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):

                                                 

Видно, что члены последовательности  с ростом  как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности  становится все меньше и меньше.

Определение. Число  называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой  (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами  верно неравенство:

.

Обозначают: . Или  при .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Предел функции в бесконечности и в точке

Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности  тесно связано понятие предела функции  в бесконечности. Если в первом случае переменная  возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.

Определение. Число  называется пределом функции  при  стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число  (зависящее от ), что для всех  таких что , верно неравенство:

.

Это предел функции обозначается:  или  при .

Можно сформулировать понятие предела при стремлении  к бесконечности определенного знака, т.е. при  и при . В первом случае основное неравенство:   должно выполнятся для всех  таких, что , а во втором – для всех  таких, что .