Колебательное звено

Колебательным называется звено, в котором связь между входом и выходом выражается уравнением

(2.17)

где Т – постоянная времени, k – коэффициент усиления, – коэффициент затухания.

В приведенных условиях корни характеристического уравнения для (2.17) являются комплексными:

,

а следовательно, переходная функция колебательного звена имеет вид

.

Колебания носят затухающий характер (кривая 1 на рис.2.2), а асимптотой является величина .

Передаточная функция звена (2.17) имеет вид

, (2.18)

а звено называется устойчивым колебательным.

Если звено описывается уравнением

, (2.19)

то переходная функция имеет вид

Рис. 2.2. Переходные функции колебательного звена

,

и имеет вид кривой 2 на рис. 2.2, т.е. представляет собой расходящийся колебательный процесс ( при ). Рассмотренное звено называется неустойчивым колебательным звеном.

Если же в уравнениях (2.17) или (2.19) параметр , то корни характеристического уравнения являются действительными и они будут описывать два последовательно соединенных апериодических звена с постоянными времени Т₁ и Т₂, и произведение коэффициентов усиления должно быть равно k. Действительно, в этом случае передаточная функция (2.18) может быть представлена в виде

,

что соответствует передаточным функциям (2.10) и/или (2.14).

Интегрирующее звено

Интегрирующим называется звено, в котором входная величина пропорциональна интегралу от входа:

(2.20)

или

. (2.21)

Выполнив преобразование Лапласа, передаточную функцию получаем в виде:

, (2.22)

а переходная функция имеет вид

.

На рисунке 2.3 представлен характер входных воздействий и выхода.

Рис. 2.3. Переходный процесс в интегрирующем звене

Примером такого звена могут служить изменения со временем экономического эффекта от вкладываемых инвестиций , если в каждый момент времени

,

т.е. эффект пропорционален накопленным инвестициям.

Усилительное звено

Усилительным называется звено, в котором выходные величины пропорциональны входной, т.е.

или . (2.23)

В экономике подобные звенья называются мультипликаторами. Например, валовые инвестиции I как вход следующим образом связаны с валовым внутренним продуктом (ВВП) Y как выходом:

,

где - доля валовых инвестиций в ВВП, - играет роль коэффициента усиления (мультипликатора). Усилительное звено безинерционно - переходный процесс в нем отсутствует. Поэтому использование таких звеньев в моделях требует внимательного обращения, т.к. в реальности идеальных звеньев подобного рода не существует.

Дифференцирующее звено

Дифференцирующим называется звено, в котором выход пропорционален производной от входа:

, (2.24)

где – постоянная времени звена, определяемая через его характеристики.

Из (2.24) следует и вид передаточной функции звена

. (2.25)

В экономике подобное звено называется акселератором. Например, инвестиции I(t) могут быть выражены через скорость изменения ВВП (dY/dt) уравнением

,

где r называют коэффициентом акселерации.

Очевидно, что при скачкообразном изменении входа в системах типа (2.24) выход возрастает до бесконечности. В реальности таких идеальных дифференцирующих звеньев нет и поэтому на выходе реальных дифференцирующих звеньев помимо составляющей, пропорциональной производной от входной величины, генерируются также другие составляющие. В линейных динамических системах наряду с идеальным дифференцирующим звеном, описываемым уравнением (2.24) с передаточной функцией (2.25), в качестве типовых структурных звеньев приняты также:

• реальное дифференцирующее звено первого порядка

; (2.26)

• реальное дифференцирующее звено второго порядка

. (2.27)

Очевидно, что передаточные функции обоих звеньев имеют вид соответственно:

, (2.28)

. (2.29)

Любая линейная система управления, независимо от назначения, структуры, физической природы ее элементов может быть представлена математической моделью в виде совокупности рассмотренных выше типовых структурных звеньев.