Устойчивость линейных динамических систем

Система называется устойчивой, если ее реакция на импульсное воздействие затухает, т.е. импульсная характеристика g(t) имеет нулевую асимптоту

g(t)=0.

Уравнения системы (2.1) при импульсном входе запишем в виде

.

Преобразование Лапласа данного уравнения приводит к соотношению

. (2.36)

Тогда характеристический многочлен имеет n корней , которые удовлетворяют уравнению

(2.37)

Поскольку корни могут быть комплексными и действительными, то последнее уравнение, разлагая на множители, можно записать

, (2.38)

где первая группа сомножителей соответствует комплексным сопряженным корням и , а вторая – действительным корням .

Если комплексные корни представить в виде , , то выражение (2.38) приобретает вид

.

Таким образом, получив представление знаменателя для (2.36), можем его расписать через элементарные дроби.

и произвести обратное преобразование Лапласа

.

Из полученного решения и требования устойчивости системы следует, что действительные части комплексных корней и все действительные корни должны быть отрицательными. Только в этом случае обеспечивается условие y(t)0 при , т.е. система оказывается асимптотически устойчивой.

3. Динамика объектов управления в пространстве состояний

Преимуществом современной теории управления по сравнению с классической теорией является применимость ее к задачам управления многомерными объектами и объектами с переменными параметрами.

Одним из важных и достаточно сложных моментов в приложении идей современной теории является формирование математической модели объекта. Для этого необходимо доскональное изучение объекта, связей между его элементами и возможно наилучшее (в смысле адекватности) формализованное описание процессов в объекте.

В полученной модели выделим множество переменных, обеспечивающих описание функционирования объекта, т.е. его состояние в каждый момент времени, свободные переменные, которые могут служить входными (или управляющими) параметрами, и переменные, описывающие выход системы.

Методику вывода управлений лучше всего рассмотреть на конкретных примерах.

3.1. Уравнение состояния электрической цепи

Рассмотрим электрическую схему (рис. 3.1), в которой U – входное напряжение, подаваемое извне, U – выходное напряжение цепи, R , R – активные сопротивления, С , С – электрические емкости.

Введем величины токов в цепочках:

i_R – ток в сопротивлении R ;

i_C – ток в емкости C ;

i_R – ток в сопротивлении R ;

i_C – ток в емкости C .

Используя закон Кирхофа, можно записать:

i = i = i +i .

Рис. 3.1. Принципиальная схема цепи

В качестве переменных состояния выбираем напряжения на емкостях (U , U ), скорость изменения которых пропорциональна протекающим токам:

= = ; = = .

Применяя закон Ома для замкнутой цепи, можем записать

U =U +U +U .

Используя рассмотренные соотношения для токов i и i , получим:

i = i – i = - ;

i = i = .

Или в итоге после всех подстановок имеем:

= - ( + ) U - U + ,

= + ,

а для выходной переменной получим

+ .

Полученные уравнения представим в матричном виде

= + U (3.1)

= + . (3.2)

При заданных начальных условиях уравнение (3.1) описывает однозначно динамику изменения величин U (t) и U (t), которые соответствуют координатам (фазовым координатам) в двухмерном пространстве состояний объекта (U , U ) R . Уравнение (3.2) описывает динамику изменений выхода U (t) в зависимости от входа U (t) и состояния объекта (U (t), U (t)).