Задача №1.24*
Продукція паперової фірми випускається у вигляді паперових рулонів стандартної ширини – по 20 од. шириною. По спеціальним замовленням споживачів фірма постачає рулони і інших розмірів, для чого виробляється розрізання стандартних рулонів. Типові замовлення на рулони нестандартних розмірів приведені в табл.1.8.
Таблиця 1.8
Варіантів замовлень на рулони нестандартних розмірів
Заказ |
Необхідна ширина рулону, од. шир. |
Необхідна кількість рулонів, шт. |
1 |
5 |
150 |
2 |
7 |
200 |
3 |
9 |
300 |
Всі допустимі варіанти розрізання рулонів приведені в табл.1.9. Рис.1.4 ілюструє 1-й варіант розкрою рулонів.
Таблиця 1.9
Допустимих варіантів розкрою рулонів
Необхідна ширина, од.шир. |
Варіант розкрою рулонів |
Мінімальна кіл-ть рулонів, шт. |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
5 |
0 |
2 |
2 |
4 |
1 |
0 |
150 |
7 |
1 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
200 |
9 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
300 |
Втрати, од.шир. |
4 |
3 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
Рис.1.4. 1-й варіант розкрою рулонів
Побудуйте математичну модель, що дозволяє знайти такий план розрізання рулонів, при якому замовлення, що поступили, на нестандартні рулони задовольняються з мінімальними втратами (тобто непридатними для реалізації залишками рулонів).
Примітка 1.5. У даному завданні для зручності запису моделі можна ввести змінні, що не є шуканими величинами.
2. Графічний метод вирішення одиніндексних завдань
2.1. Теоретичне введення
Графічний метод досить простий і наочний для вирішення завдань ЛП з двома змінними. Він заснований на геометричному представленні допустимих рішень і ЦФ завдання.
Кожна з нерівностей
завдання ЛП (1.1) визначає на координатній
плоскості
деяку півплощину (ріс.2.1), а система
нерівностей в цілому – пересічення
відповідних плоскостей. Безліч точок
пересічення даних півплощин називається
областю
допустимих значень
(ОДЗ). ОДЗ завжди є опуклою
фігурою, тобто вододіючою наступною
властивістю: якщо дві крапки А і В
належать цій фігурі, то і весь відрізок
АВ належить їй. ОДЗ графічно може бути
представлена опуклим багатокутником,
необмеженою опуклою багатокутною
областю, відрізком, променем, однією
крапкою. В разі несумісності системи
обмежень завдання (1.1) ОДЗ є порожньою
множиною.
Примітка №2.1. Все вищесказане відноситься і до випадку, коли система обмежень (1.1) включає рівність, оскільки будь-яка рівність
можна представити у вигляді системи двох нерівностей (див. ріс.2.1)
ЦФ
при фіксованому значенні
визначає на плоскості пряму лінію
.
Змінюючи значення L, ми отримаємо
сімейство паралельних прямих, званих
лініями
рівня.
Це пов'язано з
тим, що зміну значення L спричинить зміна
лише довжини відрізання, рівня, що
відсікається лінією, на осі
(початкова ордината), а кутовий коефіцієнт
прямої
залишиться постійним (див. рис.2.1). Тому
для вирішення буде досить побудувати
одну з ліній рівня, довільно вибравши
значення L.
Вектор
з координатами
із коефіцієнтів ЦФ при
і
перпендикулярний
до кожної з ліній рівня (див. рис.2.1).
Напрям
вектора
збігається
з напрямом зростання
ЦФ, що є важливим моментом для вирішення
задачі. Напрям убування
ЦФ протилежно
напряму вектора
.
Суть графічного
методу полягає в наступному. По напряму
(проти напряму) вектора
в ОДР
виробляється пошук оптимальної точки
.
Оптимальною вважається точка, через
яку проходить лінія рівня
(
),
відповідна найбільшому (найменшому)
значенню функції
.
Оптимальне рішення завжди знаходиться
на кордоні ОДЗ, наприклад, в останній
вершині багатокутника ОДЗ, через яку
пройде цільова пряма, або на всій його
стороні.
При пошуку оптимального рішення задач ЛП можливі наступні ситуації: існує єдине рішення задачі; існує безкінечна безліч рішень (альтернативний оптимум); ЦФ не обмежена; область допустимих рішень – єдина крапка; завдання не має рішень.
