Розв’язок

Перш ніж побудувати математичну модель завдання, тобто записати її за допомогою математичних символів, необхідно чітко розібратися з економічною ситуацією, описаною в умові. Для цього необхідно з точки зору економіки, а не математики, відповісти на наступні питання:

1. Що є шуканими величинами завдання?

2. Яка мета рішення? Який параметр завдання служить критерієм ефективності (оптимальності) рішення, наприклад, прибуток, собівартість, час і так далі У якому напрямі повинне змінюватися значення цього параметра (до max або до min) для досягнення найкращих результатів?

3. Які умови відносно шуканих величин і ресурсів завдання мають бути виконані? Ці умови встановлюють, як повинні співвідноситися один з одним різні параметри завдання, наприклад, кількість ресурсу, витраченого при виробництві, і його запас на складі; кількість продукції, що випускається, і ємність складу, де вона зберігатиметься; кількість продукції, що випускається, і ринковий попит на цю продукцію і так далі.

Лише після економічної відповіді на всі ці питання можна приступати до запису цих відповідей в математичному вигляді, тобто до запису математичної моделі.

1) Шукані величини є змінними завдання, які як правило позначаються малими латинськими буквами з індексами, наприклад, однотипні змінні зручно представляти у вигляді .

2) Мета рішення записується у вигляді цільової функції, що позначається, наприклад . Математична формула ЦФ відображає спосіб розрахунку значень параметра – критерію ефективності завдання.

3) Умови, що накладаються на змінні і ресурси завдання, записуються у вигляді системи рівності або нерівностей, тобто обмежень. Ліві і праві частини обмежень відображають спосіб набуття (розрахунок або чисельні значення з умови завдання) значень тих параметрів завдання, на які були накладені відповідні умови.

В процесі запису математичної моделі необхідно вказувати одиниці виміру змінних завдання, цільової функції і всіх обмежень. Побудуємо модель завдання №1.01, використовуючи описану методику.

Змінні задачі

У завданні №1.01 потрібно встановити, скільки фарби кожного виду треба виробляти. Тому шуканими величинами, а значить, і змінними завдання є добові обсяги виробництва кожного виду фарб:

– добовий обсяг виробництва фарби 1-го вигляду [т фарби/добу];

– добовий обсяг виробництва фарби 2-го вигляду [т фарби/добу].

Цільова функція

У умові завдання №1.01 сформульована мета – добитися максимального доходу від реалізації продукції. Тобто критерієм ефективності служить параметр добового доходу, який повинен прагнути до максимуму. Щоб розрахувати величину добового доходу від продажу фарби обох видів, необхідно знати обсяги виробництва фарб, тобто і т фарби в добу, а також оптові ціни на фарби 1-го і 2-го видів – згідно з умовою, відповідно 3 і 2 тис. грн. за 1 т фарби. Таким чином, дохід від продажу добового обсягу виробництва фарби 1-го вигляду рівний тис. грн. у добу, а від продажу фарби 2-го вигляду – тис. грн. у добу. Тому запишемо ЦФ у вигляді суми доходу від продажу фарб 1-го і 2-го видів (при допущенні незалежності об'ємів збуту кожній з фарб)

[тис. грн. /добу],

Обмеження

Можливі обсяги виробництва фарб і обмежуються наступними умовами:

• кількість інгредієнтів А і В, витрачене протягом доби на виробництво фарб обох видів, не може перевищувати добового запасу цих інгредієнтів на складі;

• згідно з результатами вивчення ринкового попиту добовий обсяг виробництва фарби 2-го вигляду може перевищувати обсяг виробництва фарби 1-го вигляду, але не більш, ніж на 1 т фарби;

• обсяг виробництва фарби 2-го вигляду не повинен перевищувати 2 т в добу, що також виходить з результатів вивчення ринків збуту;

• обсяги виробництва фарб не можуть бути негативними.

Таким чином, всі обмеження завдання № 1.01 діляться на 3 групи, обумовлені:

1) витратою інгредієнтів;

2) ринковим попитом на фарбу;

3) позитивністю обсягів виробництва.

Обмеження по витраті будь-якого з інгредієнтів мають наступну змістовну форму запису

Запишемо ці обмеження в математичній формі.

Ліва частина обмеження – це формула розрахунку добової витрати конкретного інгредієнта на виробництво фарб. Так з умови відома витрата інгредієнта А на виробництво 1 т фарби 1-го виду (1 т інгр. А) і 1 т фарби 2-го виду (2 т інгр. А) (див. табл.1.1). Тоді на виробництво т фарби 1-го вигляду і т фарби 2-го вигляду буде потрібно т інгр. А.

Права частина обмеження – це величина добового запасу інгредієнта на складі, наприклад, 6 т інгредієнта А в добу (див. табл.1.1). Таким чином, обмеження по витраті А має вигляд

Аналогічний математичний запис обмеження по витраті В

Примітка 1.1. Слід завжди перевіряти розмірність лівої і правої частини кожного з обмежень, оскільки їх неспівпадання свідчить про принципову помилку при складанні обмежень.

Обмеження за добовим обсягом виробництва фарби 1-го вигляду в порівнянні з обсягом виробництва фарби 2-го вигляду має

змістовну форму

і математичну форму

Невід’ємність об’єму виробництва задається як

.

Таким чином, математична модель цієї задачі має вид