Етапи математичного моделювання.

При дослідженні соц.-ек процесів використовується ек-матем-не моделювання, яке представляє собою побудову моделей відповідного соц.-ек. процесу. Етапи: 1) Виявлення причинно-наслідкових зв’язків між величинами, які описують досліджуваний соц.-ек. процес. 2) Побудова матем-ої моделі. 3) Визначення типу матем моделі. Використовуючи відповідну теорію знаходимо розв’язки по моделі. 4) Аналіз одержаних результатів.

Загальна постановка ЗЛП. Приклади екон ЗЛП

Загальна лінійна економіко-математична модель економічних процесів та явищ — так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді:

(2.1)

за умов:

(2.2)

(2.3)

Отже, потрібно знайти значення змінних x₁, x₂, …, x_n, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), і цільова функція (2.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Для довільної задачі математичного програмування у § 1.2 були введені поняття допустимого та оптимального планів.

Для загальної задачі лінійного програмування використовуються такі поняття.

Вектор Х = (х₁, х₂, …, х_n), координати якого задовольняють систему обмежень (2.2) та умови невід’ємності змінних (2.3), називається допустимим розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Допустимий план Х = (х₁, х₂, …, х_n) називається опорним планом задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж m лінійно незалежних обмежень системи (2.2) у вигляді рівностей, а також обмеження (2.3) щодо невід’ємності змінних.

Опорний план Х = (х₁, х₂, …, х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план , за якого цільова функція (2.1) досягає масимального (чи мінімального) значення, називається оптимальним розв’язком (планом) задачі лінійного програмування.

Канонічна форма злп- модель, яка має обмеження у вигляді системи рівнянь з невід’ємним вектором вільних членів і невід'ємними змінними.

Перш ,ніж приступити до розв.ЗЛП , необхідно ,щоб задача була в канонічному (ідеальному)вигляді.Умови канон.вигл.:1)Цільова ф-ія задачі має бути на МАКС;2)Всі вільні чл.. системи обмежень мають бцти невід’ємними;3)всі обмеження мають бути невід’ємними;4)На всі змінні задачі має бути наклад.умова невід’ємності.

Алгоритм графічного методу

1. будуємо прямі лінії, рівняння яких дістаємо заміною в обмеженнях задачі знаків нерівностей на знаки рівностей

2. визначаємо півплощини, що відповідають кожному обмеженню задачі.

3. Знаходимо многокутник розв”язків задачі лінійного програмування

4. будуємо градієнт N, що задає напрям зростання значень цільової функції

5. Будуємо пряму перепендикулярну градієнту

6. переміщуючи перпендикуляр в напрямі градієнта (для задач максиміз.) чи навпаки (для мініміз), знаходимо вершину многокутника розв”язків, де цільова функція досягає екстремального значення

7. визначаємо координати точки, в якій цільова функція набуває макс(мін) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в точці.

Симплекс-метод – поетапна обчислювальна процедура, в основу якої покладено принцип послідовного поліпшення значень цільової функції переходом від одного опорного плану задачі лін програмув до іншого.

Алгоритм симплекс

1. визначення початкового опорного плану злп

2. побудова симплексної таблиці

3. перевірка опорного плану на оптимальність за доп. оцінок Zj-Cj. Якщо всі оцінки задовольняють умову опитимальності, то план є оптимальним. Якщо не задовольняє – переходять до іншого опорного плану

4. перехід до нового опорного плану задачі виконується визначенням розв”язувального елемента та розрахунком нової симплексної таблиці

5. повторення дії починаючи з п.3

______________________________

Початковий базисний план

Для його розв. визнач дод. змінні..Потім переходимо від загальної задачі ЗЛП до табл..вигляду..Базові змінні завжди утворюють одиничну матрицю.Таким чином,щоб побудув поч..базисний план для злп необхідно:1.помножити на -1 ті умови із області Р,для яких Ві»менше»нуля0,2.до умов менше-рівне додати доповн. зм. Уі,3.до умов типу = - дод.шт зм. 3і.4)до умов типу більще-рівне –відняти –у+3.Доп. зм. Уі входять у ЦФ із коеф 0,а шт..зм. - -М,М-достатьо велике число для макс,і дост мале для МІН.

Якщо всі елементи індексної стрічки є невідємними ,знайдений базовий розвязок є точкою оптимуму.ЯКЩО Є ХОЧА Б 1 ВІДЄМНИЙ ТО НЕОБХ. ПРИЙТИ ДО НАСТУПНОГО БАЗОВОГО РОЗВЯЗКУ,шукаючи найменш відємний елемент серед елементів індексної стрічки….Розвязкову стрічку шукають як наймеше відношення е-тів стовбця вільних членів до дод.е-тів розв.стовбця.Якщо ШТ.зм. вийшла з бази при формуванні нової таблиці,то вона вже ніколи не вернеться.

Теореми двоїстості, їх економічна інтерпретація.

Між прямою та двоїстою задачами лінійного програмування існує тісний взаємозв’язок, який випливає з наведених далі теорем.

Перша теорема двоїстості. Якщо одна з пари двоїстих задач має оптимальний план, то інша задача також має розв’язок, причому значення цільових функцій для оптимальних планів дорівнюють одне одному, тобто max Z = min F, і навпаки.

Якщо ж цільова функція однієї з пари двоїстих задач не обмежена, то друга задача взагалі не має розв’язків.

Якщо пряма задача лінійного програмування має оптимальний план Х ^*, визначений симплекс-методом, то оптимальний план двоїстої задачі Y ^* визначається зі співвідношення

,

де — вектор-рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при змінних, які є базисними в оптимальному плані; — матриця, обернена до матриці D, складеної з базисних векторів оптимального плану, компоненти яких узято з початкового опорного плану задачі. Обернена матриця завжди міститься в останній симплекс-таблиці в тих стовпчиках, де в першій таблиці містилася одинична матриця.

За допомогою зазначеного співвідношення під час визначення оптимального плану однієї з пари двоїстих задач лінійного програмування знаходять розв’язок іншої задачі.

Друга теорема двоїстості. Якщо в результаті підстановки оптимального плану прямої задачі в систему обмежень цієї задачі і-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідний і-й компонент оптимального плану двоїстої задачі дорівнює нулю.

Якщо і-й компонент оптимального плану двоїстої задачі додат­ний, то відповідне і-те обмеження прямої задачі виконується для оптимального плану як рівняння.

Третя теорема двоїстості. Двоїста оцінка характеризує приріст цільової функції, який зумовлений малими змінами вільного члена відповідного обмеження.

.Двоїста задача (ДЗ). Правила побудови ДЗ. Симетричні й несиметричні ДЗ.

Для побудови ДЗ необхідно звести пряму задачу до стандартного виду. Вважають, що ЗЛП подана у станд. вигляді, якщо для відшукання маx. Знач-я цільової функції всі нерівності її системи обмеж-ь приведені до виду «≤», а для задачі на відшукання мін. значення - до виду «≥». Якщо пряма ЗЛП подана в станд. вигляді, то ДЗ утворюється за такими правилами: 1.Кожному обмеж-ю прямої задачі відповід двоїста змінна. Кіл-ь змінних ДЗ=кіл-ті обмеж-ь прямої задачі. 2.Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеж-я ДЗ, причому кіл-ть обмежень ДЗ=кіл-ті змінних прямої задачі. 3.Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук max значення, то цільова функція ДЗ - на визначення min, і навпаки. 4.Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції ДЗ є праві частини обмежень прямої задачі. 5.Праві частини системи обмежень ДЗ є коефіцієнтами при змінних у цільовій функції прямої задачі. 6. Матриця, що склад-я з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, є транспонованою матрицею до матриці із коефіцієнтів у системі обмежень ДЗ.