Тема 5 Поверхность уровня

Поверхность, во всех точках которой давление жидкости одинаково называется поверхностью равного давления (или поверхностью уровня).

Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково р = const, то изменение давления dp = 0. Из основного уравнения гидростатики (4.6) dp =  × (X × dx + Y × dy + Z × dz) получим

 × (X × dx + Y × dy + Z × dz) = 0.

Так как плотность   0, то

X × dx + Y × dy + Z × dz = 0. (5.1)

где X, Y и Z – проекции ускорения массовой (объёмной при  = const) силы на координатные оси.

Уравнение (5.1) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности равного давления, то есть уравнение поверхности уровня.

Свойства поверхности уровня

1. Две поверхности уровня не пересекаются между собой.

Действительно, допустим, что поверхность давления р₁ пересекается с поверхностью давления р₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление должно быть одновременно равным и р₁ и р₂, что невозможно, так как р₁  р₂. Следовательно, пересечение этих поверхностей невозможно.

2. Внешние массовые (объёмные) силы направлены нормально к поверхности уровня.

Доказать это положение можно следующим образом. Работа силы dF на элементарном пути dl равна: dА =  × (X × dx + Y × dy + Z × dz). Но для поверхности уровня трёхчлен в скобках равен нулю, поэтому работа силы dF на пути dl вдоль поверхности уровня равна нулю (dА = 0).

С другой стороны, согласно рис. 8 работа силы dF равна dА = dF × cos × dl. Поскольку dА = 0, а dF  0 и dl = 0, то cos должен быть равен нулю, то есть угол  = .

Рисунок 8

Рассмотрим равновесие капельной и газообразной жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально вниз. Расположим координатную ось 0z вертикально вверх. При этом ускорение свободного падения g = 9,81 м/с² будет направлено параллельно оси 0z.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z будут равны соответственно:

X = g_x = 0; Y = g_y = 0; Z = g_z = – g,

где g_x, g_y и g_z – проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение поверхности уровня (5.1) X × dx + Y × dy + Z × dz = 0 получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

– g × dz = 0 или dz = 0. (5.2)

Интегрируя это уравнение, находим

– g × z = const

или

z = const = С. (5.3)

Так как С = const – произвольная постоянная, то это уравнение (5.3) будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей, параллельным осям 0x и 0y,

Итак, ели на жидкость действует только сила тяжести, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остаётся неизменным (рис. 9). При равновесии газа гидростатическое давление в точке р изменяется только с высотой расположения этой точки р = f(z).

Рисунок 9 Рисунок 10

Если закрытый резервуар заполнен капельной жидкостью, то во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково р₀ (рис. 10). Свободная поверхность воды в открытом резервуаре испытывает одно и то же атмосферное давление р_бар. Свободная поверхность в этих случаях является поверхностью уровня и, следовательно, горизонтальной плоскостью. В условиях равновесия поверхность уровня неподвижна.

Проведём произвольную горизонтальную плоскость n – n (рис. 10). Эта плоскость также будет поверхностью уровня. Во всех точках этой плоскости давление будет одинаковым.

Так как плоскости n – n и свободной поверхности параллельны между собой, то все точки плоскости n – n находятся на одной и той же глубине. Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины погружения точки под уровень свободной поверхности и на одинаковой глубине гидростатическое давление в любой точке будет одним и тем же.

Этот вывод является выражением следствия из закона Паскаля.

Следствие из закона Паскаля: на данном горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости давление во всех точках одинаково.