Тема 23 Уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости (газа)

Для газов, обладающих вязкостью, уравнение Бернулли в дифференциальной форме (для элементарной струйки) имеет вид:

g × dz + + + g × dh = 0.

Интегрируя это уравнение вдоль элементарной струйки по длине l от сечения 0-0 до любого произвольного сечения, получим:

g × (z – z₀) + + g × h_пот = С, (23.1)

где h_пот – потери напора по длине l.

Величину можно найти, если плотность  является функцией от давления р. Вид этой функции зависит от характера термодинамического процесса, происходящего в том или другом случае движения газа. Наиболее общим случаем является политропный процесс. Из уравнения политропы = = const находим функцию  = f(p), которая имеет вид  =₀ × .

После подстановки найдём

= = × = × =

= × .

Но первое слагаемое в скобках с учётом уравнения политропы = равно

= = ,

а второе слагаемое

= .

Таким образом, искомая величина интеграла

= × .

Делая подстановку в уравнение (23.1), получим уравнение Бернулли в виде

g × (z – z₀) + × + + g × h_пот = С.

Разделим величины и запишем уравнение Бернулли при политропном процессе для двух сечений реального газа 0-0 и любого произвольного сечения:

g × z₀ + × + = g × z + × + + g × h_пот. (23.2)

Используя зависимость (1.9) = R × T₀, а = R × T, можно придать уравнению (23.2) вид

g × z₀ + ×R×T₀ + = g × z + ×R×T + + g × h_пот. (23.3)

где R – удельная газовая постоянная.

При адиабатном процессе движение газа описывается теми же основными уравнениями, но при этом показатель политропы n заменяется показателем адиабаты k, поэтому при адиабатном процессе уравнение Бернулли будет записано в виде:

g × z₀ + × + = g × z + × + + g × h_пот. (23.4)

или

g × z₀ + ×R×T₀ + = g × z + ×R×T + + g × h_пот. (23.5)

Рассмотрим движение газа при изотермном процессе, когда соблюдается условие

= R × T = const и  = .

В этом случае, учитывая постоянство температуры (T = const),

= = R × T × = R × T × ln .

Тогда для изотермного процесса уравнение Бернулли примет вид

g × z₀ + R × T₀ × ln p₀ + = g × z + R × T × ln p + + g × h_пот. (23.6)

Тема 24 Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса и его критическое значение

Потери энергии при движении жидкости зависят от режима движения жидкости.

Фундаментальные исследования вопроса о режимах движения жидкости были выполнены английским учёным Осборном Рейнольдсом в 1883 – 1885 годах на специальной опытной установке, схема которой показана на рис. 45. В цилиндрическую стеклянную трубку через плавный коноидальный вход жидкость подается из резервуара 1, где она успокаивается с помощью системы решеток. Резервуар (бак) 1 достаточно больших размеров. Высота уровня жидкости в баке поддерживается постоянной. В конце стеклянной трубы 2 установлен кран 3 для регулирования расхода потока. Измерение расхода выполняется с помощью мерного бака 4 и секундомера.

Во входной участок трубы через тонкую трубочку 5 из сосуда 6 подается подкрашенная жидкость с плотностью и скоростью истечения, близкими к этим же характеристикам потока жидкости в трубе. Расход краски регулируется краном 7. Подкрашенная струйка жидкости позволяет визуализировать (сделать видимой) структуру потока в трубе.

1 – резервуар (бак); 2 – стеклянная трубка; 3 – кран для регулирования расхода потока; 4 – мерный бак; - 5 - трубка для подачи подкрашенной жидкости; 6 – сосуд с раствором подкрашенной жидкости; 7 – кран для регулирования подачи подкрашенной жидкости; 8 – кран на мерном баке

Рисунок 45 – Установка Рейнольдса для изучения режимов движения жидкости

При небольших значениях скорости v подкрашенная струйка имеет вид нити с четко очерченными границами. Жидкость движется отдельными не перемешивающимися слоями (рис. 46, а).

Движение жидкости, при котором отсутствуют изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости, называют ламинарным (от латинского слова lamina – слой, пластинка).

При больших скоростях окрашенная струйка начинает искривляться и становится волнообразной (рис. 46, б). Это происходит в результате изменений во времени (пульсации) векторов местных скоростей в потоке.

Рисунок 46 – Ламинарное (а) и турбулентное (б, в) движение жидкости

Наличие поперечных пульсаций является отличительной чертой турбулентного течения. Поэтому появление поперечных колебаний окрашенной струйки жидкости служит указанием на переход ламинарного режима в турбулентный.

При дальнейшем увеличении скорости потока струйка распадается на отдельные хорошо видные вихри, происходит перемешивание окрашенной струйки со всей массой текущей жидкости. На небольшом расстоянии от входа (10…20 диаметров трубы) поток оказывается равномерно окрашенным (рис. 46, в).

Движение жидкости, при котором происходят изменения (пульсации) местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости называют турбулентным (от латинского слова turbulentus – беспорядочный, бурный).

Рейнольдс установил, что переход от ламинарного течения к турбулентному и наоборот определяется средней скоростью течения v, характерным поперечным размером потока L, физическими свойствами жидкости: плотностью  и вязкостью (динамический коэффициент вязкости  или кинематический коэффициент вязкости ). В общем случае режим движения жидкости определяется безразмерным комплексом, составленным из указанных величин и называемым числом (критерием) Рейнольдса

Re = = (24.1)

Число Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения (вязкости).

Переход от одного режима движения в другой объясняется преобладанием силы инерции или силы трения.

В качестве характерного геометрического размера живого сечения потока L чаще всего принимают диаметр трубы d (для круглых напорных труб), для некруглых и безнапорных труб гидравлический радиус R или диаметр эквивалентный . Тогда, соответственно

Re = , = , Re_{d экв} =

Скорость потока, при которой происходит смена режима движения жидкости, называется критической. Рейнольдс обнаружил существование двух критических скоростей: верхней критической скорости – при переходе ламинарного режима движения в турбулентный, и нижней критической скорости – при переходе турбулентного режима движения в ламинарный. Соответственно различают верхнее и нижнее критические числа Рейнольдса.

Ламинарный режим	Возможен устойчивый	Возможен неустойчивый	Невозможен
Турбулентный режим	Невозможен	Возможен устойчивый	Возможен устойчивый

0 Re

Для круглых напорных труб при установившемся равномерном движении жидкости = 2000 … 2320, а = 4000 … 100000.

Значение (переход ламинарного течения в турбулентное) зависит от внешних условий опыта: постоянства температуры, уровня вибрации установки, условий входа в трубку, шероховатости поверхности стенок трубы, состояния жидкости в резервуаре, питающем трубу и т.п. Значение (переход турбулентного движения в ламинарное) от этих величин практически не зависит.

При Re  будет существовать ламинарное (слоистое) движение, причём оно будет устойчиво, то есть искусственно разрушить слоистую структуру (турбулизовать поток), то она восстановится. При больших числах Re  слоистая структура существовать не может. А в диапазоне  Re  ламинарный режим существовать может, но он неустойчив; если слоистая структура разрушается, то вновь она не восстанавливается и режим движения становится турбулентным. Достаточно воздействия малого возмущения, чтобы произошёл переход в турбулентное движение. В практических условиях, где всегда есть источники случайных возмущений, следует считаться только с нижней границей.

Таким образом, в качестве критического числа Рейнольдса принят для цилиндрических напорных труб

Re_кр = = 2000…2320.

Для любого потока по известным v, L и  можно вычислить число Рейнольдса и сравнить его с критическим значением Re_кр. Если Re  Re_кр, то v  и режим движения жидкости ламинарный; если Re  Re_кр, то v  и режим движения турбулентный.

На конфузорных (сужающихся) участках труб значение Re_кр больше, а на расширяющихся участках (диффузорах) Re_кр меньше значения 2000…2320.

В природе и технике турбулентное движение жидкости наблюдается чаще, чем ламинарное. Области ламинарного движения:

 движение очень вязких жидкостей типа масел по трубам и механизмам;

 движение грунтовых вод (но оно может быть также и турбулентным);

 движение в капиллярах (в том числе и движение крови в живых организмах).