17.2 Вывод

В вершине А в момент времени t составляющие местной скорости u равны u_x; u_y; u_z. Поступательное перемещение параллелепипеда как целого за время dt представится проекциями (рис. 39, а):

u_x × dt; u_y × dt; u_z × dt.

Линейная деформация может быть охарактеризована удлинениями рёбер (рис. 39, в):

× dx × dt; × dy × dt; × dz × dt.

Скорости удлинения отрезков единичной длины равны соответственно

; ; .

Угловая деформация характеризуется изменениями углов. Прямой угол, составленный рёбрами параллелепипеда AB и AD в плоскости x0y, при движении жидкости изменяется на сумму углов d + d (рис. 39, г).

Ввиду малости углов d и d можно принять d  tg d и d  tg d.

Угол сдвига между осью 0x и ребром AD’ найдётся так

d  tg d = = ,

а угол сдвига между осью 0y и стороной AB’ равен

d  tg d = = .

Тогда угловая деформация (деформация сдвига)

d + d = + .

Скорость угловой деформации в плоскости x0y равна

= + .

Для скоростей угловых деформаций в плоскостях y0x и x0z получим соответственно

+ ; + .

Таким образом, угловую деформацию или перекашивание можно оценить изменением углов между гранями. Скорость изменения углов между гранями во времени при деформации частицы называется интенсивностью перекашивания. Скорость изменения угла перекашивания равна скорости деформации во времени.

_x = × ;

 _y = × ;

_z = × .

Вращение жидкой частицы можно оценить величиной и направлением угловой скорости  при повороте частицы, по изменению положения диагонали относительно координатных осей (рис. 39, б). Угловая скорость грани ABCD относительно оси 0z найдётся как

_z = × .

Для угловых скоростей граней относительно осей 0x и 0y получим выражения

_x = × ;

_y = × .

Тема 18 Уравнение неразрывности течения

18.1 Основные теоретические сведения

Уравнение неразрывности течения (сплошности потока) в интегральной форме в случае одномерного приближения принимает вид уравнения постоянства расхода:

 для слобосжимаемой (или трудносжимаемой) жидкости ( = const) это уравнение постоянства объёмного расхода Q, м³/с:

Q = v × , (18.1)

где v – средняя скорость в живом (поперечном) сечении потока, м/с;

 – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

Объёмный расход потока вдоль по течению неизменен.

 для сжимаемой жидкости (  const) это уравнение постоянства массового расхода Q_m, кг/с:

Q_m =  × v × , (18.2)

где  – плотность жидкости, кг/м³.

Массовый расход потока вдоль по течению неизменен.

Тема 19 Уравнение Бернулли (энергии) для элементарной струйки невязкой несжимаемой жидкости

В элементарной струйке сечениями 1-1 и 2-2 выделим некоторую массу жидкости и составим уравнение кинетической энергии (Е_к) для этой массы (рис. 41).

За время dt выделенная масса жидкости переместится и займёт положение 1-1, 2-2. Рассмотрим между сечениями три объёма: (a), (b) и (c). По условиям сплошности масса объёма (a) равна массе объёма (b).

Рисунок 41

Приращение кинетической энергии при перемещении массы жидкости из положения 1-1, 2-2 в положение 1-1, 2-2:

=  .

При установившемся движении кинетическая энергия массы жидкости в объёме (с) в момент времени t равна кинетической энергии массы жидкости в объёме (с) в момент времени t+t:

=

Тогда для всей выделенной массы

=  . (19.1)

Кинетическая энергия массы жидкости в объёме (b) равна:

= ;

dm =  × d₂ × dl₂ =  × d₂ × u₂ × dt;

=  × d₂ × u₂ × dt × . (19.2)

Аналогично, кинетическая энергия массы жидкости в объёме (а) равна:

=  × d₁ × u₁ × dt × . (19.3)

После подстановки (19.2) и (19.3) в выражение (19.1) получаем

=  × d₂ × u₂ × dt ×   × d₁ × u₁ × dt × . (19.4)

Для невязкой жидкости к выделенному объёму приложены силы тяжести, давления жидкости на боковую поверхность, силы давления на торцевые площадки ₁ и ₂.

Поскольку жидкость несжимаема, внутренняя энергия рассматриваемого объёма не меняется при его перемещении и в уравнение кинетической энергии входит только работа внешних сил.

При перемещении массы из положения 1-1, 2-2 в положение 1-1, 2-2 вес жидкости в объёме (с) работу не совершает и работу сил тяжести можно вычислить как работу перемещения из объёма (а) в (b).

Сила тяжести равна:

G = g × dm = g ×  × dV =  × g × d₁ × u₁ × dt.

Работа сил тяжести

G × (z₁ – z₂) =  × g × d₁ × u₁ × dt × (z₁ – z₂). (19.5)

Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы нормальны к этой поверхности.

Работа сил давления на торцы равна разности:

р₁ × d₁ × u₁ × dt – р₂ × d₂ × u₂ × dt. (19.6)

Таким образом, приращение кинетической энергии (19.4) за счёт работы сил тяжести (19.5) и внешнего давления (19.6) имеет вид

 × d₂ × u₂ × × dt   × d₁ × u₁ × × dt =

=  × g × d₁ × u₁ × (z₁ – z₂) × dt + р₁ × d₁ × u₁ × dt – р₂ × d₂ × u₂ × dt.

Разделим на dt и сгруппируем

 × g × d₁ × u₁ × z₁ + р₁ × d₁ × u₁ +  × d₁ × u₁ × =

=  × g × d₁ × u₁ × z₂ + р₂ × d₂ × u₂ +  × d₂ × u₂ × .

Заменим u₁ × d₁ = dQ, u₂ × d₂ = dQ и разделим обе части последнего уравнения на   g  dQ.

Имеем

z₁ + + = z₂ + + . (19.7)

Это уравнение Бернулли в форме напоров для элементарной струйки между сечениями 1-1 и 2-2.

Поскольку сечения взяты произвольно, то в общем виде уравнение имеет вид:

z + + = const. (19.8)

Каждое слагаемое в уравнении Бернулли в форме напоров имеет размерность длины (м) и представляет собой энергию, отнесённую к единице веса (1 Н), то есть удельную энергию. Здесь z – удельная потенциальная энергия положения, – удельная потенциальная энергия давления, – удельная кинетическая энергия.

Уравнение Бернулли в форме давлений имеет вид:

 × g × z + р +  × = const. (19.9)

Здесь каждый член имеет размерность давления (Па) и представляет собой энергию, отнесённую к единице объёма. Здесь  × g × z – гравитационное давление, р – статическое давление,  × – динамическое давление.

Уравнение Бернулли имеет третью форму представления – основное уравнение Бернулли:

g × z + + = const. (19.10)

Каждое слагаемое в уравнении (19.10) характеризует энергию, отнесённую к единице массы (Дж/кг). При этом размерность каждого члена уравнения (м²/с²).