1. МАТ-Е ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ В НЕПРЕР-Х ЛИН-Х ДЕТЕРМИНИР-Х СИСТЕМАХ.

Сигнал – носитель инф-и на матер-й основе. Быв-т детермин-е и случ-е. Детерм-е: для каждого м-нта вр м предсказать знач-е. Непрер-е: аргумент сигнала чаще всего тек-е время, м зафиксир-ть бесконеч-е мн-во точек.

При анализе прохожд-я слож-го сигнала U(t) ч/з такие системы его предст-т в виде взвеш-й суммы базисных ф-ций φ_k(t) (или соотв-щего интеграла)

, tt_, t_, где С_k – коэф-ты; t_, t_ – инт-л сущ-ния сигн-а. На инт-ле t_, t_ выр-е справ-во как для сиг-в, неогр-х во вр, так и для сигн-в конечной длит-сти.

Вычисл-е составл-щих сигнала сущ-но облегчается при выборе в кач-ве базиса системы ф-ций ₀(t), ₁(t),…, _k(t),…, _j(t),…, _n, кот-ю наз-т ортогон-й на отрезке t_, t_ для всех , если удовлетворяются условия

при k  j, (1.2) и ортонормир-й, если

при k = j. (3)

Распр-ной вр-ной формой предст-ния сигнала явл-ся такое разлож-е сигнала U(t), при кот в кач-ве базисной ф-ции исп-тся единичные импул-е функции – дельта-ф-ции.

Мат/описание такой ф-ции зад-ся соотношениями, когда дельта-функция отличается от нуля в момент времени t = , имеем:

(4) Для более общего случая, когда дельта-f-я отлич-ся от 0 в м-нт вр кси:

(5)

Такая М/М соотв-т импульсу беск-но малой длит-сти и безгр-й в-ны. С пом-ю -ф-ции можно выразить значение реального сигнала U(t) в конкретный момент времени :

. (6) Это рав-во справ-во для любого тек-го м-нта вр t. Заменив  на t и приняв в кач-ве перем-й интегр-я 

. (7) Ф-ция U(t) выражена в виде сов-сти примык-щих друг к дургу импульсов беск-но малой длит-сти. Т.к. они не перекрыв-ся во времени, то – ортогон-сть сов-сти этих импульсов. Ф-ла справ-ва и для бо-лее узкого диап-на пределов интегр-я. Так, для любого  > 0

. (8)

На практике еще исп-т производные импульсной -функции. При условии, что U(t) имеет непрерывные производные до n-го порядка, с учетом производных -функции имеем

(9) и аналогично

(10)

при k = 1, 2,…, n.

Единич-ю импул-ю -ф-цию м предс-ть прямоуг-м импульсом конеч-й длит-сти Δ, им-щим един-ю площадь.

(11) Предст-м единич-й прямоуг-й импульс интегралом Фурье.

(12). Подст-я в (12) выр-е (11) прямоу-го импульса:

₍₁₃₎

Выполнив обратное преобразование Фурье для (13), получим

. (14)

Переходя к пределу при Δ→0 и принимая во внимание, что при этом , получим . (15)

Эта формула дает разложение мгновенного единичного импульса на гармонические колебания всех возможных частот.

Исп-е экспоненц-х базисных ф-ций в преобр-и Фурье комплек-сно-сопряж-ми парами (с положит-м и отриц-м пар-м ) позв-т в соотв-и с формулой Эйлера (16)

представить сложный детерминир-й сигнал в виде суммы гарм-х составляющих. Поскольку параметр  в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.

2. МАТ-Е ОПИСАНИЕ СИГНАЛОВ В НЕПРЕР-Х ЛИН-Х СТОХАСТИЧ-Х СИСТЕМАХ.

Сигнал – носитель инф-и на матер-й основе. Быв-т детермин-е и случ-е. Случ-е: врем-е сигналы м охаракт-ть вероят-ми оценками. Если м извлечь полезную инф-ю – случ-й, иначе – помеха. Непрер-е: аргумент сигнала чаще всего тек-е время, м зафиксир-ть бесконеч-е мн-во точек.

Под случ-м (стохаст-м) проц-м подраз-т такую ф-цию времени U(t), знач-я кот-й в каждый м-нт времени случайны. М.б. опр-ны лишь статистич-е данные, хар-щие все мн-во возм-х реализаций.

Для этого надо превратить СП в набор случ-х чисел с опр-м шагом. СП U(t) м.б. описан сист-й N обычно зав-х случ-х в-н U₁=U(t₁),…, Ui=U(ti),…, U_N=U(t_N), взятых в разл-е м-ты времени.

Для оценки степени статистич-й зав-сти мгнов-х знач-й проц U(t) в произв-е м-нты времени t1 и t2 исп-ся неслуч-я ф-ция аргум-в R_U(t1, t2), кот-я наз-ся кор-ной ф-цией. При конкр-х аргум-х t1 и t2 она = кор-му м-нту знач-й процесса U(t1) и U(t2):

. (17). Ч/з двумерную плотность вер-сти выр-е (17) представляется в виде:

(18), где ро – плот-сть вер-сти случ-х в-н. Как вероятностные х-ки, так и кор-е знач-я для опр-х м-нтов вр м.б. однор-ми набол-м инт-ле набл-й СП (стац) и неоднор-ми (СП, у кот-х изм-ся х-ки – нестац-е).

В силу сим-сти этой ф-лы относ-но аргументов справ-во рав-во

. (19)

Для стацх эргодических процессов справедливы соотношения:

для мат-го ожидания сигнала U(t): ; (20)

для дисперсии сигнала ; (21)

для корреляционной функции сигнала:

. (22), где тау – времен-й инт-л, кот опр-т сдвиг по вр 2х случ-х в-н, целое число.

Дисперсия сигнала U(t) = кор-ной функции при  = 0: .

Спектральная плотность стационарных процессов

. (30)

Выр-е (30) – ф-ла Релея, кот-я соотв-т энерг-й форме интеграла Фурье. Для нахожд-я энергии рассм-го процесса вместо бескон-го интервала набл-я с равным основ-м можно интегр-ть квадрат ф-ции времени по всему интервалу [∞, ∞] или инт-ть квадрат модуля изобр-я Фурье по всем частотам [∞, ∞]. Для бол-ва проц-в энергия за беск-й инт-л стремится к беск-сти, что неудобно в тех-х прилож-х. Поэтому удобнее вместо энергии исп-ть ср-ю мощность процесса, кот-я будет получена, если энергию поделить на инт-л наблюд-я, тогда на осн-и формулы (30):

. (31)

Введем обозначение , (32)

которое получило название спектральной плотности.

С учетом (32) перепишем выражение (31)

, (33)

где ū2 – средний квадрат рассматриваемой величины u(t).

Важным свойством спектральной плотности является то, что интегрирование ее по частотам [∞, ∞] дает средний квадрат исходной функции времени u(t). По своему физическому смыслу спектральная плотность есть величина, которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от ω до ω + dω.

Спектральная плотность и корреляционная функция случайных процессов представляют собой взаимные преобразования Фурье:

; (34)

. (35)

3. МАТ-Е ОПИСАНИЕ СИГН-В В ЛИН-Х ДИСКР-Х СИСТ.

Дискр (на инт-ле набл-й конечное кол-во точек отсчета аргум-та, то м/д сосед-ми точками отсчета – разрыв аргум-нта, т.е. такие же разрывы будут и для знач-й сигнала).

Из анализа спектров сигн-в м заключить, что наим-шая частота квант-я для возм-сти восст-я сигнала равна , где – наивысшая частота, содерж-ся в спектре (импул-я теорема). Теорема утв-т, что если сигнал не сод-т частот выше, чем ра-диан в секунду, он полностью опис-ся своими знач-ми, измер-ми в дискр-е моменты времени с интервалом секунд.

В соотв-и с импульсной теоремой непрерывный сигнал может быть получен из дискретного по интерполяционной формуле

Преобразование Фурье:

По усл-ю теоремы ф-ция F = нулю вне интервала . Если , то

.

Значение непрерывной функции на основе равно

Меняя порядок интегрирования и суммирования, получаем

На выбор частоты квант-я влияют треб-я уст-сти замкнутых систем и др-е практ-е сообр-я, кот-е могут сделать необх-м квант-е сигнала с частотой более высокой, чем теор-й минимум. Более того, сигналы с огранич-м спектром физически не сущ-т в системах связи или упр-я. Все физ-е сигналы, сущ-щие в реальном мире, содержат гармоники, покрывающие широкий диапазон частот. Но вследствие того, что амплитуды высокочастот-х сост-щих значит-но ослаблены, предпол-ся, что сигнал имеет огранич-й спектр. Поэтому на практике эти факторы в сочетании с нереализ-ю ид-го низкочаст-го фильтра делают невозм-м точное воспроизвед-е непрер-го сигнала по его дискретным выборкам, даже если выполняются условия импульсной теоремы.

Также сигнал м.б. полностью опр-н при квант-и его со скор-ю меньшей, чем радиан в секунду, если в м-нты выборки известна инф-я, как об амплитуде сигнала, так и о его производных. Если сигнал не содержит частот больших, чем радиан в секунду, он полностью определяется значениями и , измер-ми в дискр-е м-нты времени с инт-лом секунд, где

(53)

Это означает, что если кроме значений в м-нты известны знач-я первой производной , то макс-но доп-й период квантования . Это вдвое больше периода, необх-го при измерении только . Добавление каждой последующей производной позволяет ув-ть интервал между выборками до величины , где n – порядок высшей производной, при условии, что для каждой выборки все производные низших порядков известны.