- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Б) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
- •Билет №2
- •Параллельные плоскости
- •Угол между плоскостями.
- •Определение функции, способы задания функции, Возрастание и убывание функции. Четность и нечетность, периодичность функции.
- •Графически
- •Каноническое
- •Общее уравнение плоскости и его частные случаи
- •Уравнения плоскости, проходящей через три точки
Билет №2
А) Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть дана прямая L на координатной плоскости Оху.
Определение. Углом наклона прямой к оси абсцисс называется уголповорота оси абсцисс вокруг любой ее точки против часовой стрелки до положения параллельности (или совпадения) с данной прямой.
рис.1.
Из определения следует, что угол наклона прямой L к оси Ох может изменяться от нуля до : . Если прямая , то .
Пусть
(1)
– общее уравнение прямой L, где – нормальный вектор прямой L и . Тогда и (см. рис.1). Выразим у изуравнения (1)
.
, .
Уравнение прямой L принимает вид:
.
Определение. Уравнение прямой вида
(2)
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом
угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:
. (3)
Доказательство. 1) Если прямая , то и . С другой стороны, ее нормальный вектор и .
Тогда и, следовательно, , ч.т.д.
2) Пусть , тогда , и . Пусть F – точка пересечения прямой L с осью абсцисс. Тогда
, .
Опишем окружность единичного радиуса с центром в точке F , а в точке оси Ох с координатой проведем касательную m к этой окружности. См. рис.2.
рис.2.
Выберем положительное направление на прямой m, так, чтобы . Тогда ось m является осью тангенсов для данной единичной (тригонометрической) окружности.
Пусть Р – точка пересечения прямой L с осью тангенсов m. Тогда, с одной стороны, , где – угол наклона прямой L к оси Ох, а, с другой стороны, точка и , откуда и следует равенство , ч.т.д.
Теорема доказана.
Заметим, что приведенное доказательство принадлежит автору этих лекций. Достоинством этого доказательства является то, что оно не зависит ни от величины угла наклона , ни от величины коэффициента .
В заключение отметим, что коэффициент b в уравнении (2) равен величине отрезка, отсекаемого прямой от оси ординат (см. рис.2).
Угловой коэффициент равен k=(y2-y1)/(x2-x1), а само уравнение прямой: y=y1+k(x-x1).
2) ?!
БИЛЕТ №3
Взаимное расположение двух плоскостей в порстранстве
Параллельные плоскости
Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:
(4.23)
Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что
и наоборот.
Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку
Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и
Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде
Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):
или