4.2 Постановка задачі для наближеного вирішення диференційних рівнянь першого порядку.

Хай дано диференційне рівняння першого порядку:

(4.1)

Вимагається знайти рішення рівняння (4.1), що задовольняє початковій умові :

(4.2)

Припустимо, що функція безперервно диференційована в замкнутому прямокутнику, який визначений наступним чином :

Рішенням задачі Коші (4.1), (4.2) є інтегральна крива, що проходить через точку . Наближене рішення шукатимемо на кінцевій безлічі точок інтервалу , яку називають сіткою . Сітку задамо таким чином : розіб'ємо відрізок на n часток з кроком точками , де . Отримаємо .

Виз. Функція , задана на сітці називається сітковою . Норма сіткової функції визначається таким чином :

Наближене рішення диференціального рівняння - сіткова функція. Точне рішення на інтервалі , визначено, зокрема, і у вузлах сітки . Позначимо через сіткову функцію, відповідну розв’язанню у вузлах сітки . Позначимо через норму сіткової функції .

4.3 Метод Ейлера.

Хай поставлена задача Коші (4.1), (4.2) . Розглянемо геометричну інтерпретацію цього методу :

Мал. 4.1. Геометрична інтерпретація методу Ейлера.

Хай . В точці до інтегральної кривої проводимо дотичну. Як наближене рішення виберемо ординату точки перетину дотичної з прямою . Через точку проходить інша інтегральна крива . В точці до інтегральної кривої проводимо дотичну. Ордината точки перетину дотичної з прямою дає наближене рішення в точці і так дали. Через точку проходить інтегральна крива . В точці проводимо дотичну : . Ордината точки перетину дотичної з прямою визначається за формулою:

.

Помітимо, що ; . Останнє виходить з рівняння (4.1) . Наближене рішення , обчислене в точці визначається таким чином .

Послідовність наближень по методу Ейлера визначається формулою:

(4.3)

4.4 Погрішність наближеного рішення диференційних рівнянь, отриманих методом Ейлера.

Позначимо через погрішність наближеного рішення в точці . Через , , . Для точного вирішення запишемо ряд Тейлора по ступенях :

При ряд має вигляд :

З формули (4.4) віднімемо формулу (4.3) :

Оцінимо модуль погрішності :

Знайдемо оцінку модуля другої похідної :

.

Тоді

Формула (4.5) визначає модуль погрішності наближеного рішення в точці (локальна погрішність) .

Глобальна погрішність оцінюється по формулі :

.

Локальна погрішність методу Ейлера, тобто погрішність, що виникає за рахунок переміщення по дотичній, а не по інтегральній кривій має другий порядок точності по . Глобальна погрішність, тобто максимальна погрішність на інтервалі має перший порядок точності по . Основний недолік методу – низька точність.

Приклад 4.1.

Знайти наближене рішення диференціального рівняння , що задовольняє умові в точках методом Ейлера.

1)

2)

3)

Розрахунки занесемо в таблицю 4.1

Таблиця 4.1

	0	0.1	0.2	0.3
	1	1.2	1.454	1.774