7.6 Розрахунок коефіцієнтів лінійної моделі й моделі з урахуванням взаємодії факторів.

За результатами ПФЕ можна побудувати лінійну модель

,

або модель із урахуванням взаємодії факторів

Для обчислення коефіцієнтів моделі використовується метод найменших квадратів: сума квадратів відхилення експериментальних значень y від розрахованих по моделі повинна бути мінімальна

Диференціюючи по кожному коефіцієнті і дорівнюючи похідні нулю, одержуємо систему нормальних рівнянь

У матричному виді , де:

- вектор невідомих коефіцієнтів;

- вектор експериментальних значень змінної стану.

Звідси:

Матриця називається кореляційної або матрицею помилок. Для ПФЕ в силу властивостей ортогональності й нормировки вона має вигляд

Тоді коефіцієнти лінійної моделі визначаються по формулах

Для моделі з урахуванням взаємодії факторів, крім того, додаються коефіцієнти:

7.7 Перевірка значимості коефіцієнтів моделі

Фактори впливають на функцію відгуку. Для оцінки цього впливу використовують перевірку значимості коефіцієнтів.

Перевіряється гіпотеза – коефіцієнт не значимо. Альтернативна гіпотеза – значимо.

Обчислюється дисперсія коефіцієнтів регресії

Для оцінки значимості використовується критерій Стьюдента. Спостережуване значення критерію

Критичне значення визначається по таблиці розподілу критичних крапок Стьюдента із числом ступенів волі й рівнем значимості : . Якщо , то гіпотеза – справедлива, коефіцієнт не значимо, у противному випадку – значимо.

Тому що для ПФЕ дисперсії коефіцієнтів однакові, то розраховується інтервал . Значимість коефіцієнтів перевіряється з умови . Якщо умова виконується, то коефіцієнт значимо.

Якщо коефіцієнт виявився не значимий, то відповідний йому фактор можна видалити з рівняння регресії. Однак важливо пам'ятати, що незначущі фактори були відсіяні на стадії попереднього експерименту. Не значимість може означати, що невірно обрано інтервали варіювання. Необхідно змінити інтервали, і досвіди повторити.

7.8 Перевірка адекватності моделі об'єкту

Висуваються гіпотези: _- модель адекватно описує досліджуваний об'єкт,   – неадекватно.

Для перевірки висунутої гіпотези розглядається критерій Фишера.

Спостережуване значення критерію

Дисперсія адекватності , де:

- число паралельних досвідів;

- число значимих коефіцієнтів моделі.

Критичне значення визначається по таблиці розподілу критичних крапок критерію Фишера , де .

Якщо , то побудована модель адекватна, тобто розсіювання експериментальних даних змінної стану щодо рівняння регресії має той же порядок , що й розсіювання, викликане перешкодами.

7.9 Прийняття рішень за результатами планування пфе

Після побудови математичної моделі необхідно прийняти рішення: виправляти експеримент або рухатися в область оптимуму по отриманій моделі.

Розглянемо наступні ситуації:

1. Модель адекватна.

   1. всі лінійні коефіцієнти не значимі;

   2. частина факторів значимі, частина - не значимі;

   3. усі значимі й симетричні (мають один порядок);

   4. усі значимі, але один або трохи факторів не симетричні (сильно перевищують інші).

2. Модель неадекватна.

У пункті 1.с) можна вважати процес побудови моделі завершеним. Інші пункти вимагають виправлення експерименту. Способи “поліпшення” експерименту наведені на мал.7.2.

.

Досліджуваний об'єкт

Зміна числа факторів

Зміна інтервалів варіювання

Перенос центра плану

Збільшення паралельних досвідів

Зміна дрібності плану

Поліпшення методу контролю

t_кр (значимость )

n

m

p

G_н

t_н

F_н

t^*

Експериментатор

F_кр (не

адекватность)

t_кр (не значимость)

G_кр (не воспроиз‑ть)

Мал. 7.2. Прийняття рішень після планування ПФЕ

Питання для самоперевірки

1. Які основні етапи попереднього експерименту?

2. Намалювати схему багатофакторного експерименту. Які типи впливів впливають на змінну стани?

3. Які вимоги пред'являються до функції відгуку?

4. Як вибираються фактори?

5. Яким образом визначаються нульовий рівень і інтервал варіювання фактору?

6. Як здійснюється перехід у кодуванні змінних?

7. Які властивості матриці планування ПФЕ?

8. Записати рівняння лінійної моделі й моделі з урахуванням взаємодії факторів.

9. Як розраховуються коефіцієнти моделі?

10. Яким чином здійснюється перевірка значимості коефіцієнтів рівняння?

11. Як перевіряється адекватність моделі об'єкту?

Використовувана література

1. [6] стор.5-8, стор. 33-53; стор. 60-72

2. [7] стор.6-10, стор 150-153, стор. 53-89

3. [9] стор 190-200

4. [12] стор 6-16

5. [13] стор 9-12

6. [8] стор. 5-41