Питання для самоперевірки

1. Як розраховуються коефіцієнти Котеса?

2. Як обчислюється інтеграл за допомогою коефіцієнтів Котеса?

3. Як визначається значення інтеграла по методу прямокутників?

4. Яка погрішність отриманого по методу прямокутників наближеного значення?

5. Як використовуються коефіцієнти Котеса для виведення формули трапеції?

6. Як визначається значення по формулі трапеції і оцінюється погрішність?

7. Як використовуються коефіцієнти Котеса при виведенні формули Симпсона?

8. Як обчислюється визначений інтеграл по методу Симпсона і оцінюється погрішність знайденого значення?

9. Яким чином обчислюється наближена погрішність значень?

10. Як обчислюється уточнене по Річардсону наближене значення?

Література, що використовується

1) [1] стор. 103-113 , стор. 118-122

2) [2] стор. 127-136 стор. 139-141

3) [3] стор. 37-49

2. Лекція 2. Наближені методи одновимірної

МІНІМІЗАЦІЇ.

План лекції

1. Постановка задачі.

2. Метод відділення відрізків унімодальності.

3. Метод дихотомії.

4. Метод «золотого перетину».

2.1 Постановка задачі.

Задача одновимірної мінімізації полягає в знаходженні мінімального значення функції на відрізку і точки , в якій це значення досягається. Функцію називають функцією мети, а - її точкою мінімуму.

Виз. Точка називається точкою локального мінімуму цільової функції , якщо для деякого і довільних таких, що виконано .

Виз. Функція, що має єдиний локальний мінімум на відрізку, називається унімодальною на цьому відрізку.

Процедура пошуку мінімуму складається з трьох етапів:

1. розбиття відрізка на відрізки , в кожному з яких функція унімодальна;

2. уточнення точки мінімуму на кожному відрізку тобто знаходження локального мінімуму із заданою точністю;

3. вибір точки мінімуму серед точок локального мінімуму шляхом виділення тієї, в якій значення функції мети якнайменше.

У випадку, якщо функція мети двічі безперервно диференційована, для пошуку точок локального мінімуму можна застосовувати методи Ньютона - Рафсона, січних, дихотомії з похідними. В даній лабораторній роботі розглянуті методи, що не використовують похідних .

2.2 Метод відділення відрізків унімодальності.

Служить для відділення відрізків кожний з яких містить єдину точку локального мінімуму функції мети із заданого відрізка .

Алгоритм методу

1.Виберемо – кількість точок розбиття . Визначимо крок . Побудуємо точки , , . .

Обчислимо значення функції в отриманих точках: , .

2. Розглянемо відрізки вигляду для . Серед цих відрізків вибираємо такі, для яких значення в середині відрізка не перевищує значень на його кінцях, тобто , . До даних відрізків приєднаємо відрізок , якщо і відрізок , якщо . Кожний з виділених відрізків містить хоча б одну точку локального мінімуму. Число виділених відрізків позначимо .

3. Процедуру виділення відрізків повторюємо для , . Якщо з деякого кроку числа виділених відрізків співпадають підряд -раз, то процес відділення закінчуємо, і як відрізки унімодальності, вибираємо відрізки, виділені на останньому кроку_. На практиці число вибирається таким, щоб крок був у декілька разів більше заданої точності , а число в проміжку від двох до п’яти.

Приклад 2.1

1. Проведемо відділення точок локального мінімуму для функції на відрізку при і .

Обчислимо крок . Розіб'ємо відрізок точками , де

Обчислимо значення функції в отриманих точках і занесемо в таблицю 2.1.

Таблица 2.1

	0	1	2	3	4	5	6
	2	2.6	3.2	3.8	4.4	5.0	5.6
	-4.808626	-5.830948	-4.816351	-2.119265	1.318142	4.295084	5.771629
	7	8	9	10	11	12
	6.2	6.8	7.4	8	8.6	9.2
	5.231979	2.864647	-0.503388	-3.695575	-5.593792	-5.542888

Розглядаємо відрізки подвійною довжини , , , . . . Виберемо ті з них, для яких значення в середині відрізка не більш значень функцій на кінцях відрізка.

Наприклад, для відрізка :

Таких відрізків отримаємо два: з центром в точці і з центром в точці . На малюнку 2.1 ці відрізки виділені. Значить .

Проведемо ту ж процедуру з кроком . Результати обчислень занесемо в таблицю 2.2.

В даному випадку отримано також два відрізки: з центром в точці і з центром в точці .

Число відрізків унімодальності .

Оскільки , то закінчуємо процес відділення. Отже, отримано два відрізки унімодальності і .

Таблиця 2.2

0	2	-4.808626	12	5.6	5.771629
1	2.3	-5.568496	13	5.9	5.759022
2	2.6	-5.830948	14	6.2	5,231979
3	2.9	-5.572539	15	6.5	4.237578
4	3.2	-4.816351	16	6.8	2.864647
5	3.5	-3.629934	17	7.1	1.235826
6	3.8	-2.119265	18	7.4	-0.503388
7	4.1	-0.419288	19	7.7	-2.197635
8	4.4	1.318142	20	8.0	-3.695575
9	4.7	2.937826	21	8.3	-4.8634
10	5	4.295084	22	8.6	-5.596792
11	5.3	5.268674	23	8.9	-5.830239
			24	9.2	-5.542888