1. Лекція 1. Чисельна інтеграція. Обчислення визначеного інтеграла. Оцінка похибки за правилом рунге. Уточнене по річардсону наближене значення. План лекції

1. Обчислення визначеного інтеграла за допомогою коефіцієнтів Котеса.

2. Метод прямокутників.

3. Метод трапецій.

4. Метод Симпсона.

5. Правило Рунге для обчислення наближеного значення погрішності.

6. Уточнене по Річардсону наближене значення.

7. Застосування правила Рунге для оцінки наближеного значення визначеного інтеграла.

1. Обчислення визначеного інтеграла за допомогою коефіцієнтів Котеса.

Хай функція безперервна на інтервалі і відомі значення функції на цьому інтервалі. Вимагається знайти наближене значення визначеного інтеграла від функції .

По відомих значеннях функції побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа n-га порядку: . Замінюючи підінтегральну функцію многочленом Лагранжа, отримаємо:

де - помилка формули квадратури. (наближене обчислення визначеного інтеграла називається механічною квадратурою).

Наближене значення визначається по формулі:

Якщо вузли рівновіддалені з кроком то можна перейти до фази:

Тоді:

Звичайно при використанні наближеної формули для випадку рівновіддалених вузлів використовуються безрозмірні коефіцієнти . Оскільки , то отримаємо:

Наближене значення визначеного інтеграла обчислюється за формулою:

Коефіцієнти називаються постійними Котеса і не залежать від функції , що інтегрується, вузлів і кроку розбиття .

.Лемма. Хай функція безперервна на і -будь-які точки . Тоді існує точка , яка задовольняє умові:

.

Доведення виходить з очевидних нерівностей:

і теореми про проміжні значення безперервної функції.

1.2 Метод прямокутників.

Хай функція визначена на . Вимагається знайти наближене значення визначеного інтеграла: .

Розіб'ємо інтервал на n рівних частин точками:

Мал. 1.1. Геометрична інтерпретація методу прямокутників.

Хай відомі значення функції в середині кожного інтервалу. Виберемо елементарний інтервал і хай зберігає постійне значення на всьому постійному інтервалі, рівне значенню функції в середині інтервалу: . Геометрично це означає заміну площі криволінійної трапеції площею прямокутника з основою h і висотою Отримаємо:

Погрішність формули прямокутників на елементарному інтервалі рівна:

Значення інтеграла на визначається за формулою:

де .

де

де .

1.3 Метод трапецій.

Хай вимагається знайти наближене значення визначеного інтеграла на . Розіб'ємо інтервал інтеграції на n рівних частин точками: і хай відомі значення функції у вузлах розбиття. Позначимо .

Розглянемо інтервал . По двох відомих значеннях функції будуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа першого порядку, використовуючи коефіцієнти Котеса, отримаємо:

Мал. 1.2. Геометрична інтерпретація методу трапецій.

Геометрично: замінюємо дугу кривої відрізком прямої, що проходить через дві точки . При цьому замінюємо площу криволінійної трапеції площею прямокутної трапеції. Погрішність формули трапеції на визначається:

Знайдемо значення визначеного інтеграла на всьому інтервалі :

Погрішність, визначена на елементарному інтервалі, називається локальною погрішністю, а на всьому інтервалі інтеграції – глобальної.

Методи прямокутника і трапеції мають третій порядок точності відносно h для локальної погрішності і другій для глобальної.