§17. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Из формулы Стокса можно получить условия
независимости криволинейного интеграла
второго рода
от пути интегрирования, таким образом,
как была получена данная теорема на
основании формулы Грина для криволинейных
интегралов
.
Теорема: Пусть в односвязной области
заданы непрерывные функции
вместе со своими частными производными
первого порядка. Тогда эквивалентны
следующие утверждения:
1.
,
2.
,
где
не зависит от пути интегрирования , то
есть значение этого интеграла не зависит
от вида линии
,
а зависит лишь от точек, которые он
соединяет.
3. Выражение
- есть полный дифференциал некоторой
функции.
4.
Доказательство.
Из 1 следует 2, из 2 – 3,из 3 – 4, а из 4 – 1.
Раздел 2: Теория поля §18. Определение скалярного поля. Примеры. Поверхность уровня, производная по направлению, градиент.
Пусть
в области D задано скалярное поле, то
есть каждой точке
поставлено в соответствие число
.
Характеристики скалярного поля:
1. Поверхность уровня.
Поверхностями уровня скалярного
поля
называются множество точек
,
таких что
,
то есть множество точек с одной и той
же (одинаковой) характеристикой поля.
2. Производная по направлению.
Возьмём две точки
и
.
Обозначим вектор
,
где
и
(см. рис. 19).
П
роизводной
по направлению
называется:
,
где точка стремится к точке вдоль прямой, параллельной вектору .
Возьмём прямоугольную декартовую систему координат.
Тогда:
.
Выберем некоторую точку
.
Тогда вектор
имеет вид:
.
Т
акже
обозначим радиус-вектор точки
:
.
Имеем:
.
Соответственно выражение для производной по направлению имеет вид:
,
где производные
,
,
вычислены в точке
.
Окончательно имеем:
.
Производная по направлению характеризует скорость возрастания функции в данном направлении.
3. Градиент.
Градиентом поля назовём следующий вектор :
.
и обозначим
.
Тогда имеем:
.
Докажем, что величина gradu независима для любых систем координат:
.
Возьмём угол
,
то есть мы укажем направление, на которое
указывает градиент. Имеем:
,
то есть градиент указывает направление
наибольшего возрастания скалярного
поля, и поэтому не зависит от выбора
системы координат, а
- скорость наибольшего возрастания
поля.
Пусть
- вектор, направленный по касательной
к поверхности уровня. Тогда,
,
то есть,
перпендикулярен к
.
§19. Определение векторного поля. Примеры. Векторные линии, векторные поверхности, векторные трубки.
Будем говорить, что в области
задано векторное поле, если каждой точке
поставлен в соответствие вектор
.
Характеристики векторных полей.
1. Векторные линии.
Линия
называется векторной линией поля
,
если в каждой точке
вектор, касательный к линии
,
коллинеарен вектору
.
Если векторную линию задать в виде
,
тогда:
,
(1)
где - некоторая константа. Представим векторное поле в следующем виде:
.
Тогда, согласно (1), мы придём к следующей системе дифференциальных уравнений:
.
Пример.
Найдём векторные линии следующего поля:
Составим систему:
.
Тогда
,
или
.
Решая данное дифференциальное уравнение, получаем:
.
Из первого уравнения системы имеем:
,
.
Получаем систему уравнений:
.
Мы получили следующие векторные линии:
.
Очевидно, что эти линии лежат в плоскости
.
2. Векторные трубки.
Пусть - поверхность, содержащаяся в области . Множество векторных линий, пересекающих , образуют векторные трубки .