§9. Площадь поверхности
Р
ассмотрим
регулярную поверхность
,
заданную уравнением
,
где
.
Разобьём данную поверхность на элементы
,
где
.
Обозначим
- диаметр наименьшего шара, в который
можно вписать участок
.
Обозначим
и назовём его диаметром разбиения.
Выберем на каждом участке точку
и проведём через эту точку касательную
плоскость к поверхности
.
Обозначим эти плоскости
.
Ортогональную проекцию участка
на плоскость
обозначим
.
Ортогональная проекция - это плоская
фигура. Её площадь обозначим
и
составим сумму:
,
(1)
где
– полная площадь поверхности
.
Площадью
назовём предел суммы (1) при
,
причём этот предел не должен зависеть
ни от способа разбиения поверхности на
участки, ни от выбора точек
.
Теорема: Площадь регулярной поверхности, заданной уравнением , где может быть вычислена по формуле:
.
где для регулярной поверхности всегда выполняется равенство .
Доказательство.
Разобьём поверхность на участки
,
и на каждом участке выберем точки
.
Так как поверхность регулярная, то через
можно провести касательную плоскость
и выбрать систему координат таким
образом, чтобы оси OX и OY
лежали в касательной плоскости, точка
O совпадала с
,
а ось
была перпендикулярна плоскости. Тогда
в данной локальной системе координат
уравнение участка поверхности
можно записать в параметрическом виде:
.
А теперь спроектируем
на касательную плоскость. Получим фигуру
,
её уравнения в данной системе координат
имеют следующий вид:
,
где
.
Площадь этой фигуры:
.
Переходя к координатам
,
имеем:
,
где
при
.
Окончательно получаем:
,
где
- площадь поверхности
.
Следовательно, вся площадь
равна:
.
Переходя к пределу, когда получим:
.
Так как
(так как
при
)
, то последний предел идёт в ноль.
Следовательно, площадь поверхности равна:
,
что и требовалось доказать.
В §10 мы записали, что
.
Очевидно, что
.
Исходя из этого, получаем:
.
Если поверхность задана в виде
,
где
,
тогда (§10)
,
,
.
Следовательно, имеем:
.
Функцию можно представить в векторном виде следующим образом:
.
Вектор нормали к поверхности имеем вид
.
Запишем направляющие косинусы этого
вектора:
,
,
.
Следовательно:
,
где
- угол между нормальным вектором и осью
.
Отсюда следует, что если поверхность
задана уравнением
,
где
,
то её площадь можно найти по формуле:
.
§10. Поверхностный интеграл первого рода: определение, физический смысл, теорема о среднем.
Рассмотрим регулярную поверхность . Вектор представим в следующем виде:
.
Пусть E,F,G
- коэффициенты первой квадратичной
формы данной поверхности, и пусть в
каждой точке поверхности определена
непрерывная функция
.
Обозначим данную поверхность .
Поверхностным интегралом первого рода называют:
.
(1)
Физический смысл поверхностного интеграла первого рода.
Пусть на поверхности
распределена масса, плотность которой
является функцией
.
Тогда сумма
приближённо равна массе этой поверхности,
а переходя к пределу получим массу
поверхности, то есть:
.
С помощью поверхностного интеграла первого рода можно находить координаты центра масс, момент инерции материальных поверхностей с плотностью .
Координаты центра масс:
,
,
.
Момент инерции:
,
,
.
Свойства поверхностного интеграла
первого рода следуют согласно определению
(1) из свойств двойного интеграла. А
также: если поверхность состоит из
нескольких поверхностей
,
(причём
)
то в этом случае:
.
Теорема о среднем: пусть существует поверхностный интеграл первого рода ,тогда:
Существует
k
[inf(f)
, sup(f)] такой
что :
k*S;
Интегральное
среднее: k=