§14. Формула Остроградского-Гаусса

О бласть трёхмерного пространства назовём z-цилиндрической, если она ограничена сверху поверхностью , снизу – поверхностью , где , а сбоку - цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси z (см. рис. 17).

Подобным образом можно определить x-цилиндрические и y-цилиндрические поверхности.

Область назовём простой, если её можно разбить на конечное множество, как x-цилиндрических, так и y-цилиндрических, так и z-цилиндрических поверхностей.

Теорема Остроградского:

Пусть в простой области , ограниченной поверхностью , определены непрерывные функции , , , имеющие непрерывные частные производные , , в области . Тогда имеет место формула Остроградского:

, (1)

где нормаль к поверхности внешняя, и искомая поверхность замкнута (например, шар).

Доказательство.

1-й этап.

Рассмотрим интеграл:

,

где - z-цилиндрическая область. Тогда:

.

, (2)

где часть поверхности области , задаваемая функцией .

, (3)

где часть поверхности области , задаваемая функцией .

Обозначим боковую поверхность через , тогда:

(4)

Тогда, складывая (2), (3) и (4), получим:

.

Таким образом, формула Остроградского для z-цилиндрической поверхности имеет вид:

.

2-й этап.

Пусть область простая. Тогда её можно разделить на конечное множество z-цилиндрических поверхностей . Имеем:

, (5)

где - поверхность области .

П оверхности состоят из частей поверхности и поверхностей, которыми разделена область на области . Поделы входят в состав двух поверхностей , причём с разными знаками, следовательно при интегрировании по этим частям знаки интегралов будут противоположными, а модули совпадать, значит при суммировании они взаимно уничтожатся. Следовательно, имеем:

Значит формула (5) справедлива для всякой простой области, ограниченной кусочно-регулярной поверхностью.

3-й этап.

Аналогично доказываются равенства:

(6)

(7)

4-й этап.

Складывая (5),(6),(7), получим формулу (1), что и требовалось доказать.

Замечание.

Формула Остроградского-Гаусса может быть использована для вычисления объёма тела, ограниченного поверхностью (где - регулярная поверхность). Поскольку , то из формулы Остроградского-Гаусса следует:

,

если , . Чаще всего на практике используют следующую формулу:

.

§15. Криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой. Вычисление. Примеры. §16. Формула Стокса

Рассмотрим двухстороннюю поверхность S, заданную следующим уравнением:

,

где . Данная поверхность ограниченна некоторой кусочно-гладкой линией .

Обход поверхности по контуру называется согласованным с выбранной стороной поверхности, если наблюдатель, двигаясь по выбранной стороне поверхности вдоль контура , видит поверхность слева, и нормаль при этом направлена вверх.

Пусть в области D содержится регулярная поверхность S со своей границей, и пусть в области заданы функции , , , непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка. Тогда имеет место формула Стокса:

. (1)

Причём в данной формуле обход контура согласован со стороной поверхности S.

Доказательство.

Рассмотрим интеграл по поверхности :

. (2)

Переходя к координатам , имеем:

(3)

где , коэффициенты и - якобианы, причём:

, (4)

. (5)

Подставляя (4) и (5) в (2), имеем:

.

Так как, , , , , имеем:

.

Согласно формуле Грина имеем:

,

где ограничивает область .

Учитывая, что контур с помощью отображения отображается в границу поверхности , то так как , имеем:

.

То есть, согласно (2) получили:

. (6)

Аналогично получаем выражения

, (7)

. (8)

Складывая (2),(3),(4) получаем:

,

что и требовалось доказать.