§26 .Сферическая и цилиндрическая системы координат: координатные линии, параметры Ламе.
1) Цилиндрическая система координат.
,
где
,
,
.
Найдём координатные линии данной системы координат.
а)
Координатная линия
:
.
В
результате мы получили луч, выходящий
из оси
и лежащий в плоскости, пересекающей ось
в точке
и параллельной плоскости
(см.
рис. 26).
б) Координатная линия :
.
В
результате мы получили окружность
радиуса
,
параллельную плоскости
,
и лежащую в плоскости, пересекающей ось
в точке
и параллельной плоскости
(см. рис. 27).
в) Координатная линия :
.
В
результате мы получили прямую, параллельную
оси
,
проходящую через точку
(см. рис. 28).
Очевидно, что все координатные линии перпендикулярны. Следовательно цилиндрическая система координат – ортогональная.
Найдём коэффициенты Ламе:
,
.
В
последнем выражении видно, что
,
то есть изменение координатной линии
происходит пропорционально расстоянию
от оси
.
.
Из
данного выражения следует, что
,
то есть изменение координаты по оси
вызывает такое же изменение координатной
линии.
Якобиан цилиндрической системы координат:
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) Сферическая система координат.
,
где
,
,
.
Найдём координатные линии данной системы координат.
а) Координатная линия
:
.
В результате мы получили луч,
выходящий из точки
и проходящий через точку
(см. рис. 29).
б) Координатная линия :
.
В
результате мы получили окружность
радиуса
,
параллельную плоскости
и пересекающую ось
в точке
(см. рис.).
в) Координатная линия
:
.
В результате мы получили
полуокружность радиуса
с осью, лежащей на оси
.
Эта окружность пересекает плоскость
в точке
(см. рис. 31).
О
чевидно,
что все координатные линии перпендикулярны.
Следовательно, сферическая система
координат – ортогональная.
Найдём коэффициенты Ламе:
,
,
.
Якобиан сферической системы координат:
.
§27.Вычисление градиента и дивергенции в криволинейных координатах
1. Градиент.
По определению градиент – это вектор.
Найдём проекции этого вектора на
некоторый локальный базис. Обозначим
,
,
- касательные единичные векторы к
координатным линиям
,
,
,
причём
..
Очевидно,
что
- есть производная функции
.
Следовательно, имеем:
.
Таким образом, мы получили выражение для градиента в криволинейной системе координат:
.
2. Дивергенция.
По определению дивергенция есть:
,
г
де
- объём тела, ограниченного поверхностью
.
Возьмём в качестве поверхности участки
координатных поверхностей, ограничивающие
бесконечно малый параллелепипед, одной
из вершин которого является точка
(см. рис. 32). В данном случае
.
(1) Вершины параллелепипеда имеют
координаты:
,
,
,
,
,
.
Обозначим единичные векторы - касательные
к координатным линиям в точке
-
,
,
.
Поток векторного поля через грань
равен:
,
где
,
а нормальный вектор
равен
.
Следовательно:
.
(1`)
Поток векторного поля через
противоположную грань
:
,
где
.
Следовательно, получаем:
.
(2)
Суммируя (1`) и (2) получаем:
.
(3)
- это поток векторного поля через две противоположные грани и .
Аналогично можно получить поток
векторного поля через грани
и
:
.
(4)
Поток
векторного поля через грани
и
:
.
(5)
Складывая выражения (3), (4), (5) получаем поток векторного поля через всю поверхность параллелепипеда:
.
(6)
Согласно определению дивергенции (§19) имеем:
, (7)
то есть, это предел, при котором поверхность стягивается в точку . Подставляя (1`), (6) в (7) получаем:
.
Окончательно получаем:
.