§6. Параметрические уравнения поверхности. Координатные линии. Касательные векторы гладкой поверхности.
Поверхность – это непрерывное отображение некоторой области на плоскости в трехмерное пространство.
Для
создания поверхностей в пространстве
используют векторные функции векторных
переменных, например
,
где
.
П
усть
имеется некоторая плоскость, заданная
в виде
,
где
и
- некоторые параметры (
).
Зафиксируем параметр
в нескольких точках (
),
и позволим меняться параметру
. Тогда мы получим координатные линии
(то есть
).
Выполняя аналогичные действия для
параметра
,
получим координатные линии
(
)
. Полученные линии образуют координатную
сетку на поверхности (которая состоит
из координатных линий
при
и
при
).
Также обозначим
(
),
(
)-
векторы касательной к координатным
линиям
и
соответственно (см. рис. 10).
Поверхность
называется гладкой, если в каждой
точке существуют
,
.
Гладкая поверхность называется
регулярной, если ни в одной точке
не параллельно
,
то есть
.
Запишем уравнение для поверхности в следующем виде:
.
Тогда производные и имеют вид:
,
.
Очевидно, что если
поверхность регулярная, то
.
З
адавая
координатную сетку на поверхности,
можно определить линию на этой поверхности
в параметрическом виде:
,
или
.
Найдём вектор касательной к этой линии. Будем считать, что эта поверхность регулярна. Тогда:
.
Очевидно, что данный вектор лежит в плоскости векторов , .
§7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим регулярную поверхность
.
Как мы видели в §6, касательная к
произвольной лини, лежащей на этой
поверхности, лежит в плоскости векторов
и
.
Плоскость, проходящая через точку,
лежащую на поверхности, параллельной
векторам
и
,
называется касательной плоскостью
к поверхности. Очевидно, что нормальный
вектор имеет вид:
.
Тогда уравнение касательной плоскости принимает вид:
,
(1)
где
- вектор некоторой фиксированной точки
на поверхности (то есть
)
и
- радиус-вектор произвольной точки
поверхности.
Запишем радиус-вектор произвольной точки касательной поверхности в координатном виде:
.
Отсюда следует, что
,
где
,
,
.
Согласно выражению (1), уравнение
касательной плоскости имеет вид:
.
Пусть поверхность задана в виде
.
Тогда радиус-вектор
можно записать в виде:
.
В этом случае коэффициенты
,
,
имеют
вид:
,
,
.
Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид:
.
(2)
Преобразовав (2) получим:
.
Если касательная плоскость задана в
неявном виде:
,
где
,
то, согласно правилам дифференцирования
неявной функции, имеем:
,
.
Подставляя в (2) вместо
и
соответственно
и
,
и умножая на
,
после преобразований получим:
.
Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется нормалью.
Уравнение нормали имеет вид:
,
где
- точка касания, или в параметрическом
виде:
§8. Первая квадратичная форма поверхности
Пусть на регулярной поверхности
,
где
задана линия
в
натуральной параметризации
и
.
Тогда уравнение этой линии можно записать
в виде:
.
Так как
,
то
.
Величина
называется первой квадратичной формой
поверхности.
Так как
,
то:
(1)
Обозначим
,
,
.
Тогда (1) примет вид:
.
Так как поверхность регулярная, то
.
То есть
и
одновременно. не равны нулю. А это
означает, что первая квадратичная форма
является положительно определённой.
Матрица первой квадратичной формы
представлена ниже:
Согласно критерию Сильвестра из данной формулы получаем, что:
,
.
1. Измерение длины линии на поверхности.
Так как
,
то (используя формулу для вычисления
длины линии из §2) имеем:
.
В этой формуле
,
в силу инвариантности формы дифференциалов
первого порядка.
2. Измерение углов между линиями.
Пусть заданы две линии
и
,
и пусть дифференциалами этих линий
являются
и
.
Тогда:
.
(2)
где
- угол между этими линиями.
О
бозначим:
.
Тогда имеем:
,
,
.
Подставляя в эти три выражения в (2) получим:
.