§3. Естественный трехгранник линий. Кривизна кривой. Физический смысл кривизны.

Рассмотрим кривую . Обозначим - производную данной линии по натуральному параметру. Пусть рассматриваемая кривая регулярна, то есть . В этом случае в каждой точке кривой можно построить касательный вектор . Длина линии равна:

.

Найдём производную данного выражения по :

,

то есть длина касательного вектора равна 1. В дальнейшем единичный вектор будем обозначать следующим образом:

Найдём вторую производную . Так как линия имеет постоянную длину, то из теоремы 2 §1 следует, что . Обозначим вектор :

и назовём его вектором главной нормали. , где - называется кривизной линии .

Обозначим:

и назовём вектором бинормали. Так как вектора и единичные и взаимно перпендикулярные, то и вектор - так же единичный.

В каждой точке регулярной кривой, для которой , можно построить три единичных взаимно перпендикулярных вектора , , , которые образуют естественный (сопровождающий) трёхгранник.

Из проведенных рассуждений следует, что , .

§4. Формулы Френе. Кручение кривой. Физический смысл кручения.

Найдём производные от векторов , , :

_,

.

Очевидно, что =0, то есть .

Следовательно, имеем:

,

где - кручение линии ( по теореме 2 §1.).

.

Мы получили формулы Френе:

, (1)

То есть, используя данные формулы, можно выразить векторы , , в базисе .

Можно обозначить матрицу , в которой построчно записаны координаты векторов , , в базисе . Очевидно, что , и, если обозначить столбец , то в формулы Френе можно записать в матричном виде:

.

§5. Вычисление кривизны и кручения

1. Натуральная параметризация.

Из §3 известно, что если задана линия , то , , . Найдём кривизну линии . Так как и , то:

. (1)

Найдём :

.

Найдём смешанное произведение трёх векторов , , :

. (2)

Так как , и , то из (2) имеем:

.

Следовательно, мы получили выражение для кручения линии :

. (3)

2. Произвольная параметризация.

Пусть задана линия , где t- произвольный параметр. Тогда: . Будем считать что параметр t возрастает в том же направлении, что и l то есть . Найдём :

. (4)

Найдём и :

, .

Так как , то согласно формулам (1) и (4) имеем:

. (5)

Подставляя выражение b в (3), получим:

.

Учитывая выражение (5), окончательно получаем:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Обозначим следующие плоскости:

1. Плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная , называется нормальной. Уравнение данной плоскости имеет вид:

.

2. Плоскость, проходящая через и перпендикулярная , называется спрямляющей. Уравнение данной плоскости имеет вид:

.

3. Плоскость, проходящая через и перпендикулярная , называется соприкасающейся. Уравнение данной плоскости имеет вид:

.