- •1 Основы алгебры логики
- •1.1 Понятие о логических функциях
- •Функции одной и двух переменных
- •2.1Булевы функции одной переменной
- •Булевы функции двух переменных
- •2.3 Понятие базиса и функционально-полного базиса
- •Основные аксиомы и тождества алгебры логики
- •Способы задания Булевых функций
- •3.1 Описательный способ:
- •3.2 Аналитический метод:
- •3.2.1Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (сднф)
- •3.2.2 Совершенная конъюнктивная нормальная форма (скнф)
- •3.2.3Таблица истинности и последовательность значений наборов переменных
- •3.2.4 Геометрический способ представления функций алгебры логики (фал) (кубические комплексы)
- •3.2.5 Временные диаграммы
- •3.2.6 Функциональные схемы
- •3.2.7 Взаимные преобразования способов представления фал
- •4. Основные характеристики и параметры логических элементов
- •4.1 Цифровые устройства и их классификация (из инета)
- •4.2 Передаточные характеристики
- •4.3 Входная характеристика
- •4.4 Выходная характеристика
- •4.5 Нагрузочная способность
- •5. Базовые логические элементы
- •5.1 Структура логических элементов
- •5.1.1 Логические устройства диодной логики
- •5.1.2 Простой усилительно-формирующий каскад
- •5.1.3Сложный усилительно-формирующий каскад (двухтактный)
- •5.2 Базовый элемент ттл-логики
- •5.2.5 Модификации базовых элементов
- •5.3 Ттлш-логический элемент
- •5.3 Базовые элементы кмоп логики, преимущества
- •6. Синтез комбинационных устройств
- •6.1 Основные этапы неавтоматизированного синтеза комбинационных устройств.
- •6.2 Минимизация цифровых устройств
- •6.2.1 Аналитическая минимизация фал
- •6.2.2 Минимизация фал на основе карт Карно
- •6.2.3 Смысл и применимость методов минимизации при синтезе цифровых устройств.
- •6.3 Приведение фал к заданному базису.(и-не, или-не, и-или-не)
- •Типовые комбинационные устройства
- •7.1 Типовые комбинационные цифровые устройства.
- •Преобразователи кодов
- •Шифраторы (кодеры) и дешифраторы (декодеры)
- •Мультиплексоры и демультиплексоры (Концентраторы)
- •7.5 Сумматоры
- •Компараторы кодов
- •8 Последовательностные устройства
- •8.1 Обобщённая схема последовательностного устройства
- •8.2 Понятие об автоматах Мили и Мура
- •9 Триггеры
- •9.1 Классификация
- •9.2.1 Асинхронный rs-триггер
- •9.2.2 Синхронизируемый уровнем
- •9.2.4 Двухтактный rs-триггер
- •9.3.1 Асинхронный d–триггер
- •9.3.4 Двухтактный d–триггер
- •9.4.1 Асинхронный
- •9.4.3 Синхронизируемый фронтом jk-триггер
- •9.4.4 Двухтактный jk-триггер
- •10. Типовые последовательностные устройства
- •10.1 Регистры
- •10.1.1 Классификация
- •10.2 Счетчики.
- •10.2.1 Классификация счетчиков.
- •10.2.3 Асинхронные двоичные счётчики
- •10.2.4 Суммирующие. Схема. Быстродействие
- •10.2.5 Вычитающий счетчик. Схема. Быстродействие.
- •10.2.6 Реверсивные счетчики
- •10.2.8 Счётчики с параллельным переносом
- •10.2.9 Счетчик с групповым переносом.
- •10 .3 Генератор чисел
- •10.4 Распределители импульсов
- •11.Цифрово-аналоговые преобразователи
- •11.1 Классификация цап
- •12 Аналого-цифровые преобразователи (ацп). Методы построения.
- •Параллельные ацп
- •Последовательно-параллельные ацп
- •Ацп последовательного приближения
- •Интегрирующие(равертывающего) ацп
- •Следящие ацп:
- •Сигма-дельта ацп
- •Тема 13. Общие принципы построения и функционирования компьютеров
- •13Машина фон Неймана
- •13.1.2 Машины Гарвардского и Принстонского классов
- •13.2 Организация памяти эвм
- •13.3 Микропроцессоры
- •Интерфейсы эвм
- •Общая организация систем обработки данных как совокупности аппаратных и программных средств.
- •14 Локальные и глобальные вычислительные сети.
- •15 Проблемы безопасности компьютерных сетей
2.3 Понятие базиса и функционально-полного базиса
Исследование логических функций двух переменных показало, что возможно выделение некоторого подмножества Y' множества Y={y0,y1,..y15}, с помощью которого можно выразить любую БФ от произвольного числа аргументов. Такие подмножества называют функционально полным базисом. Построить функции большего числа переменных, используя только функции двух переменных, можно с помощью операций композиции, под которыми понимается подстановка одних функций вместо переменных в другие функции. Такая подстановка возможна в силу того, что области значений функций и переменных совпадают (0 и 1).
Функции образующие полный базис должны обладать определенными свойствами. Прежде, чем сформулировать эти свойства, рассмотрим классы логических функций.
Основные аксиомы и тождества алгебры логики
Следует помнить, что для доказательства тождеств алгебры логики можно пользоваться методом подстановки значений.
//x=x |
Ассоциативный закон: |
xvyvz=(xvy)vz |
x&y&z=(x&y)&z |
|
x&0=0 |
xv0=x |
Коммутативный закон: |
xvy=yvx |
x&y=y&x |
x&1=x |
xv1=1 |
Дистрибутивный закон: |
(xvy) & z=x&z v y&z |
x&y v z=(xvz)&(yvz) |
x&x=x |
xvx=x |
Законы поглощения: |
xvx&y=x |
(xvy)&x=x |
x&/x=0 |
xv/x=1 |
Законы дуальности (теоремы д-Моргана): |
___ _ _ xvy = x&y |
___ _ _ x&y=xvy |
Клод Шенон предложил обобщение теорем дуальности, позволяющее отыскивать инверсию любой функции f(X), где X=(xn,..x1):
________ _
f(X/v,&)=f(X/&,v). (1.7)
В соответствии с 1.7 инверсию любой функции можно получить взаимной заменой переменных и их инверсий и операций дизъюнкции и конъюнкции.
Способы задания Булевых функций
3.1 Описательный способ:
Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.
Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q
Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически
3.2 Аналитический метод:
Аргументы обычно упорядочивают в порядке убывания величины индексов. Таблица может дополняться колонкой - порядковым номером строки. Удобно соблюдать соответствие между порядковым номером и двоичным кодом соответствующим данному набору значений аргументов. Подобного рода таблицы называют таблицами истинности. Табл.1
N |
x2 x1 x0 |
y |
0 |
0 0 0 |
0 |
1 |
0 0 1 |
1 |
2 |
0 1 0 |
1 |
3 |
0 1 1 |
0 |
4 |
1 0 0 |
1 |
5 |
1 0 1 |
0 |
6 |
1 1 0 |
1 |
7 |
1 1 1 |
0 |
Логическая функция записывается в виде математического выражения. Предпочтительно использование канонических форм записи в виде дизъюнктивной или конъюнктивной форм. Рассмотрим эти формы записи.
Минтермом или конституентой единицы называется функция n переменных:
~ ~ ~
mi (xn,xn-1 ..x1)=x1&x2&..&xn,
~ __
Где xp - т.н. первичный терм, принимающий значение xp или xp, а i - номер терма соответствующий двоичному коду, построенному на значениях первичных термов входящих в выражение xp ставится в соответствие 1, а /xp - 0.
Видно, что имеется 2n различных минтермов для n переменных. Минтермы обладают следующими свойствами:
Минтерм принимает единичное значение лишь на наборе соответствующем его номеру;
Минтермы взаимно ортогональны, т.е. произведение любых минтермов с разными номерами равно 0;
Сумма всех минтермов функции n переменных равна 1.
Макстермом или конституентой 0 называют функцию n переменных:
~ ~ ~
Mi(xn,xn-1,..x1)=xn v xn-1 v..v x1.
Свойства макстермов двойственны по отношению к свойствам минтермов. Названия связаны с тем, что макстерм соответствует максимальному из значений входящих в него переменных, а минтерм - минимальному.