22.Функции нескольких переменных. Графическое задание функции двух переменных.
Если каждой
совокупности значений "n" переменных
из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция
"n" переменных.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y ) является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ).
Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f ( x, y ).
Основным методом построения графиков функции двух переменных является метод сечений.
23.Предел функции двух переменных. Частное и полное приращение. Частные производные.
Пусть функция
Z=f(M) определена на некотором множестве
{M} и точка M0
{M}
или M0
{M},
но обладает тем свойством, что в любой
δ-окрестности этой точки содержится
хотя бы одна точка множества {M}, отличная
от M0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число А называется пределом функции Z=f(M) в точке M0, если функция Z=f(M) определена в окрестности точки M0 и для любого ε>0, δ>0 такое что при |M0M|<δ, выполняется неравенство |f(M)-A|<ε.
обозначение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция Z=f(M) называется непрерывной в точке M0, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.
Частное приращение функции Z переменной y по переменной x:
ΔxZ = f(x+Δx, y)-f(x,y)
Частное приращение функции Z переменной x по переменной y:
ΔyZ = f(x, y+Δy)-f(x,y)
Полное приращение функции Z:
ΔZ = f(x+Δx, y+Δy)-f(x,y)
ΔZ #ΔxZ+ΔyZ
Частной производной
функции нескольких переменных по
какой-нибудь переменной в рассматриваемой
точке называется обычная производная
по этой переменной, считая другие
переменные фиксированными (постоянными).
Например, для функции двух переменных
в точке
частные производные определяются так:
,
если эти пределы
существуют. Величина
называется частным
приращением функции z в точке
по аргументу
24. Выражение полного приращения функции через частные производные. Полный дифференциал.
функции f (x, у,
z,...) нескольких независимых переменных
— выражение
в случае, когда
оно отличается от полного приращения
Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …) на
величину, бесконечно малую по сравнению
с
25. Дифференциальные уравнения полных дифференциалов. Дифференциальные уравнения первого порядка неразрешенные относительно одной производной.
Дифференциальное
уравнение вида M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называется
уравнением в полных дифференциалах,
если
.
Если существует функция u(x, y) такая, что
M(x, y) =
, N(x, y) =
,
то дифференциальное уравнение
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (1)
можно переписать в форме
dx + dy = 0
В этом случае, данное уравнение имеет решение
u(x, y) = C.
Другой вопрос, как найти эту функцию u(x, y)?
Это можно сделать с помощью криволинейного интеграла, но на практике поступают следующим образом.
Т.к. = M(x, y), то u(x, y) = M(x, y) dx + C(y), (2)
где C(y) — функция,
зависящая только от y и пока нам
неизвестная. Будем ее искать из условия,
что
= N(x, y), но
=
M(x,
y) dx + C(y).
Значит, M(x, y) dx + C'(y) = N(x, y).
Отсюда находим C'(y), а интегрированием найдем C(y), которое затем подставляем в (2) и получаем u(x, y). Тогда общий интеграл уравнения (1) имеет вид
u(x, y) = C.